Презентация на тему: Первообразная
Первообразная F(x) = f(x)
СодержаниеОпределение первообразнойОсновное свойство первообразнойТри правила нахождения первообразных
Определение первообразной Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежуткаF(x) = f(x)Пример:F(x) = x3/3 есть первообразная для функции f(x)=x2 на интервале (-; ), так какF(x) = (x3/3) = 1/3(x3) = 1/3*3x2 = x2 = f(x)для всех x (-; ).
Основное свойство первообразнойЛюбая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в видеF(x) + C,Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.Признак постоянства функцииЕсли F(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.
Свойства:Какое бы число не подставить в формулу С получим первообразную для функции f на промежутке I.Какую бы первообразную F для f на промежутке I не взять, можно подобрать такое чисто С, что для всех значений x из промежутка I выполнится равенствоF (x) = F(x) + CГрафик двух любых первообразных для функции получается путем параллельного переноса вдоль оси OY.
Таблица первообразных
Пример 1f(x) = -x3, найти F(x)F(x) = -x4/4, так как (-x4/4) = -x3Общий вид первообразной:F(x) = -x4/4 + CПример 2f(x) = 1/x2, найти F0(x) на (0; ), F(1) = 1F(x) = -1/x + C-1/1 + C = 1-1 + C = 1C = 2F0(x) = -1/x + 2
Три правила нахождения первообразныхПравило 1Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g:(F + G) = F + G = f + gПримерf(x) = x3 + 1/x2, найти F(x)(x3) = x4/4(1/x2) = -1/x, =>F(x) = x4/4 - 1/x + C
Правило 2Если F есть первообразная для f, а k - постоянная, то функция kF – первообразная для kf:(kF) = kF = kfПримерf(x) = 5cosx, найти F(x)(cosx) = sinx, =>F(x) = 5sinx + C
Правило 3Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k 0, то 1/k*F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b):(1/k*F(kx + b) ) = 1/k*F(kx + b) * k = f(kx + b)Примерf(x) = 1/(7 - 3x)5, найти F(x)(1/x5) = -1/4x4F(x) = -1/3 * (-1)/4(7 - 3x)4 = 1/12(7 - 3x)4F(x) = 1/12(7 - 3x)4 + C
