Презентация на тему: Линейная Алгебра

Лекция 3 Лекция 3 22 сентября 2009 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Основные результаты Основные результаты Методы решения СЛАУ Прямые Итерационные

Теорема Пусть наряду с СЛАУ Au = f рассматриваетмся возмущенная система Теорема Пусть наряду с СЛАУ Au = f рассматриваетмся возмущенная система Если возмущения коэффициентов и число обусловленности матрицы СЛАУ таковы, что , то

То относительная погрешность решения, полученного прямым методом, удовлетворяет оценке То относительная погрешность решения, полученного прямым методом, удовлетворяет оценке

При вычислениях на идеальном компьютере При вычислениях на идеальном компьютере

Важный частный случай – СЛАУ с трехдиагональной матрицей Важный частный случай – СЛАУ с трехдиагональной матрицей

Система с трехдиагональной матрицей Система с трехдиагональной матрицей

Модификация алгоритма Гаусса – метод ПРОГОНКИ Модификация алгоритма Гаусса – метод ПРОГОНКИ (Thomas algorithm)

Прогоночное соотношение Прогоночное соотношение Из первого уравнения

Метод прогонки Метод прогонки Рекуррентная формула Подставим в уравнение

Метод прогонки Метод прогонки

Метод прогонки Метод прогонки Обратный ход

Метод прогонки Метод прогонки Устойчивость Диагональное преобладание (i = 1,…,n).

Метод прогонки – устойчивость Метод прогонки – устойчивость Теорема. Если выполнены условия диагонального преобладания и хотя бы для одной строки матрицы системы имеет место строгое диагональное преобладание. Пусть, кроме того, 0 < p1 ≤ 1. Тогда алгоритм прогонки устойчив.

Доказательство теоремы Доказательство теоремы

Метод прогонки. Устойчивость Метод прогонки. Устойчивость Доказательство теоремы (продолжение)

Метод прогонки Метод прогонки

Метод прогонки Метод прогонки

Метод прогонки (обратный ход) Метод прогонки (обратный ход)

Метод простой итерации Метод простой итерации

Метод простой итерации Метод простой итерации

Метод простой итерации – каноническая форма записи Метод простой итерации – каноническая форма записи

Неявные итерационные методы Неявные итерационные методы

Невязка Невязка

Метод простых итераций Метод простых итераций

Метод простой итерации Метод простой итерации

Теорема (критерий сходимости метода простой итерации) (без доказательства). Теорема (критерий сходимости метода простой итерации) (без доказательства). Пусть СЛАУ имеет единственное решение. Тогда для сходимости метода простых итераций необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В по абсолютной величине были меньше единицы.

Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!

Вопросы? Вопросы?