PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Алгебра / Кривые второго порядка
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Кривые второго порядка


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Кривые второго порядка


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 § Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) н
Описание слайда:

§ Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола. 900igr.net

№ слайда 2 1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точ
Описание слайда:

1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: F1(–c;0) и F2(c;0) , где |OF1| = |OF2| = c.

№ слайда 3 Уравнение (1): называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в
Описание слайда:

Уравнение (1): называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

№ слайда 4 СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x= a, y= b
Описание слайда:

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x= a, y= b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью. 3) Из уравнения эллипса получаем:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезок A1A2 и его длина 2
Описание слайда:

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью. Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

№ слайда 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его боль
Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е. Величина характеризует форму эллипса. Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y): Замечания. 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью. Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

№ слайда 8 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на од
Описание слайда:

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

№ слайда 9 2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоск
Описание слайда:

2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: F1(–c;0) и F2(c;0) , где |OF1| = |OF2| = c.

№ слайда 10 Уравнение (2): называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат,
Описание слайда:

Уравнение (2): называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

№ слайда 11 СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x= a. 2
Описание слайда:

СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x= a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью. 3) Из уравнения гиперболы получаем:

№ слайда 12 Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прям
Описание слайда:

Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 и его длина 2a называ
Описание слайда:

Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью. Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

№ слайда 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее дей
Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е. Величина характеризует форму гиперболы. Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

№ слайда 16 Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочно
Описание слайда:

Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны. можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет xy=0,5a2 . (3) Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

№ слайда 17 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом р
Описание слайда:

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид Для этой гиперболы: действительная ось – ось Oy, мнимая ось – ось Ox, F1(0;–c) и F2 (0;c) (где ) асимптоты: фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

№ слайда 18 3. Парабола Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскос
Описание слайда:

3. Парабола Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково. Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым. В такой системе координат: F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 , где p – расстояние от F до ℓ .

№ слайда 19 Уравнение (4): y2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система коо
Описание слайда:

Уравнение (4): y2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

№ слайда 20 СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:

№ слайда 21 СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:

№ слайда 22 Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Чис
Описание слайда:

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Число p называется параметром параболы. Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

№ слайда 23 Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицат
Описание слайда:

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. Тогда получим для параболы уравнение y2 = –2px, (5) а для директрисы и фокуса: F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0.

№ слайда 24 Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус л
Описание слайда:

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = 2py, (6) а для директрисы и фокуса получим: F(0; 0,5p) и ℓ : y 0,5p = 0. Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.

№ слайда 25 4. Координаты точки в разных системах координат Получаем: Формулу (8) называют ф
Описание слайда:

4. Координаты точки в разных системах координат Получаем: Формулу (8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала координат в точку C(x0;y0).

№ слайда 26 5. Общее уравнение кривой второго порядка Рассмотрим уравнение Ax2 + Cy2 + 2Dx +
Описание слайда:

5. Общее уравнение кривой второго порядка Рассмотрим уравнение Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13) С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду: ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x0,y0). Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром (вершиной).

№ слайда 27 Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим постро
Описание слайда:

Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно: 1) если AC = 0, то кривая является параболой; 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой; 3) если AC > 0, A ≠ C– эллипсом; 4) если AC > 0, A = C – окружностью.

№ слайда 28 6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы Пусть M – произвольная точка
Описание слайда:

6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. ri = | MFi | , di = d(M,ℓi) ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d. параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет = 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная , называется 1) эллипсом, если 1; 3) параболой, если = 1.

№ слайда 29 7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β .С физическ
Описание слайда:

7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает: 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса. 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.

№ слайда 30 § Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометриче
Описание слайда:

§ Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2. в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 . Поверхности второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка). Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

№ слайда 31 1. Эллипсоид ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек прос
Описание слайда:

1. Эллипсоид ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b, c – положительные константы. Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

№ слайда 32 Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то элл
Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

№ слайда 33 Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Каноническое уравн
Описание слайда:

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы. С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

№ слайда 34 2. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическ
Описание слайда:

2. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b, c – положительные константы. Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

№ слайда 35 Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a=b, то
Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы вокруг своей мнимой оси. тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно. Замечание. Уравнения

№ слайда 36 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пр
Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b, c – положительные константы. Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

№ слайда 37 Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a=b, то
Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы вокруг своей действительной оси. тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно. Замечание. Уравнения

№ слайда 38 3. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства
Описание слайда:

3. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b, c – положительные константы. Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

№ слайда 39 Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется верш
Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса. Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой вокруг оси Oz . Замечание. Уравнения тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

№ слайда 40 4. Параболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое
Описание слайда:

4. Параболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b – положительные константы. Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

№ слайда 41 Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной п
Описание слайда:

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида. Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы вокруг оси Oz. Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону). Замечания: 1) Уравнение тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз. 2) Уравнения определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

№ слайда 42 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек
Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b – положительные константы. Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

№ слайда 43 Величины a и b называются параметрами параболоида. Замечания: 1) Уравнение тоже
Описание слайда:

Величины a и b называются параметрами параболоида. Замечания: 1) Уравнение тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз. 2) Уравнения определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно. Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

№ слайда 44 5. Цилиндры ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется пове
Описание слайда:

5. Цилиндры ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) . Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

№ слайда 45 Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое
Описание слайда:

Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru