Презентация на тему: Вероятностные задачи в ГИА 9,11 классах

Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач МОУ № 12 г. о.Жуковский Богданова С.В.

* Эпиграф урока: . . «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

* Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

* Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

* Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

* Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

* Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу . P(A) = m/n Классическое определение вероятности

* * Приложение 1 Общая схема решения вероятностных задач (единичные испытания) Определить, в чем состоит случайный эксперимент. Определить, какие в эксперименте элементарные события. Убедиться, что события равновероятны. Найти общее число элементарных исходов (n). Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, найти их количество (m). Найти вероятность события А по формуле P(A)=m/n

* Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача №1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов

* Задача №2: Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

* Задачи открытого банка

* Задача 1.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56? Число возможных исходов - 100 (сто чисел). Верно названное число одно. Это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01. Ответ: 0,01

* Задача 2. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число кратное пяти? Число возможных исходов 100 (сто чисел). Чисел кратных пяти двадцать (перечислим):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100. То есть число благоприятных исходов 20. Вероятность того, что ученик назовёт число кратное пяти равна 20 к 100 или 20/100=0,2. Ответ: 0,2

* Задача 3. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно? Число возможных исходов - 100. Число благоприятных исходов - 16: это числа от 5 до 20 (5,6…..19,20), причём 5 и 20 входят в промежуток (в условии сказано «от 5 до 20 включительно»). Искомая вероятность равна 16/100. Ответ: 0,16

Задача 4. Валя выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51. * Число возможных исходов - это количество трёхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так: 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). То есть число всевозможных исходов: 900. Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 - самое большое трехзначное число - на 51, то получим приблизительно 19 целых пятьдесят восемь сотых. То есть в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным. А значит трехзначных чисел, делящихся на 51 - 18. Число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02. Ответ: 0,02

* Задача 5. Ве ро ят ность того, что на те сти ро ва нии по ма те ма ти ке уча щий ся П. верно решит боль ше 7 задач, равна 0,78. Ве ро ят ность того, что П. верно решит боль ше 6 задач, равна 0,89. Най ди те ве ро ят ность того, что П. верно решит ровно 7 задач. Рас смот рим со бы тия A = «уча щий ся решит 7 задач» и В = «уча щий ся решит боль ше 7 задач». Их сумма — со бы тие A + B = «уча щий ся решит боль ше 6 задач». Со бы тия A и В не сов мест ные, ве ро ят ность их суммы равна сумме ве ро ят но стей этих со бы тий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, ис поль зуя дан ные за да чи, по лу ча ем: 0,89 = P(A) + 0,78, от ку да P(A) = 0,89 − 0,78 = 0,11. Ответ: 0,11

* Задача 6. Если гросс мей стер А иг ра ет бе лы ми, то он вы иг ры ва ет у гросс мей сте ра Б с ве ро ят но стью 0,5. Если А иг ра ет чер ны ми,  то А вы иг ры ва ет у Б с ве ро ят но стью 0,3. Гросс мей сте ры А и Б иг ра ют две пар тии, при чем во вто рой пар тии ме ня ют цвет фигур. Най ди те ве ро ят ность того, что А вы иг ра ет оба раза. Воз мож ность вы иг рать первую и вто рую пар тию не за ви сят друг от друга. Ве ро ят ность про из ве де ния не за ви си мых со бы тий равна про из ве де нию их ве ро ят но стей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ: 0,15.

Задача 7. В клас се 21 уча щий ся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс слу чай ным об ра зом раз би ва ют на 3 рав ные груп пы. Най ди те ве ро ят ность того, что Вадим и Олег ока жут ся в одной груп пе. * В клас се 21 уча щий ся. 3 рав ные груп пы - это груп пы по 7 че ло век. Пусть Вадим на хо дит ся в одной из трех групп. Тогда для Олега в груп пе Ва ди ма оста ет ся 6 мест из 20 воз мож ных. Таким об ра зом, ве ро ят ность того, что Вадим и Олег ока жут ся в одной груп пе:  6 из 20   Ответ: 0,3.

* Задача 8. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. Возможное число исходов - 10. Число благоприятных исходов - 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1. Ответ: 0,1

* Задача 9. Ве ро ят ность того, что новый элек три че ский чай ник про слу жит боль ше года, равна 0,93. Ве ро ят ность того, что он про слу жит боль ше двух лет, равна 0,87. Най ди те ве ро ят ность того, что он про слу жит мень ше двух лет, но боль ше года. Пусть A = «чай ник про слу жит боль ше года, но мень ше двух лет», В = «чай ник про слу жит боль ше двух лет», С = «чай ник про слу жит ровно два года», тогда A + B + С = «чай ник про слу жит боль ше года».   Со бы тия A, В и С не сов мест ные, ве ро ят ность их суммы равна сумме ве ро ят но стей этих со бы тий. Ве ро ят ность со бы тия С, со сто я ще го в том, что чай ник вый дет из строя ровно через два года — стро го в тот же день, час и се кун ду — равна нулю. Тогда:  P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),  от ку да, ис поль зуя дан ные из усло вия, по лу ча ем  0,93 = P(A) + 0,87. Тем самым, для ис ко мой ве ро ят но сти имеем:   P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.   Ответ: 0,06.

* Задача 10. У Вити в ко пил ке лежит 12 рублёвых, 6 двух рублёвых, 4 пя ти рублёвых и 3 де ся ти рублёвых мо не ты. Витя на у гад достаёт из ко пил ки одну мо не ту. Най ди те ве ро ят ность того, что остав ша я ся в ко пил ке сумма со ста вит более 70 руб лей. У Вити в ко пил ке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Боль ше 70 руб лей оста нет ся, если до стать из ко пил ки либо рублёвую, либо двух рублёвую мо не ту. Ис ко мая ве ро ят ность равна 18 : 25 = 0,72.   Ответ: 0,72.

Задача 11. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. * * Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n=50

Задача 12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? * Выясним, как распределятся выступления по дням: 1 день – 8 выступлений, остальные поровну, значит по 18 выступлений в день. 2 день - 18 выступлений, 3 день – 18 выступлений, 4 день – 18 выступлений, 5 день – 18 выступлений Вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18 к 80 или 18/80=0,225. Ответ: 0,225

Задача 13. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? * В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова. Он будет играть кем-то из 25 спортсменов (на чемпионат приехали Руслан и ещё 25 спортсменов), значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России. Это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9 к 25 или 0,36.

Задача 14. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. * * Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386 Соответствует количеству всех насосов. n=1400

Задача 15. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. * * Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству качественных сумок. m=190 Соответствует количеству всех сумок. n=190+8

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане. *

Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 Р = ( 2/6 * 4/5 * 3/4 ) * 3 =3/5 = 0,6 «5» «1» «1» Задача 16. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. *

Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 5 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 ИЛИ наоборот 1 5 5 1 1 1 Р = ( 2/6 * 1/5 * 4/4 ) * 2 = 2/5 = 0,4 «5» «5» «1» Задача 17. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане. *

* Задача 18. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков. Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4. Ответ: 0,4

Задача 19. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. * * Опыт: бросают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 331 313 133 223 232 322 511 151 115 412 421 124 142 214 241 К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

Задача 20. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. * * 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

* Задача 21. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков. Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1 кубик 2 кубик 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4. Ответ: 0,4

Задача 22. Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла. Всего 5исходов. Благоприятных исходов – 2. Р = 2/5 * 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66

Задача 23. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, первые два броска окончатся одинаково. * Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать удобнее Первые два броска одинаково могут окончиться в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5.   1-й бросок 2-ой бросок 3-ий бросок 1 орёл орёл орёл 2 орёл орёл решка 3 орёл решка решка 4 орёл решка орёл 5 решка решка решка 6 решка решка орёл 7 решка орёл орёл 8 решка орёл решка

* Задача 24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125. Ответ: 0,125

Задача 25. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Всего исходов – 36 Благоприятных исходов – 6 Р=6/36=1/6 * 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

* * Задача 26. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? m=1 Четыре раза выпала решка. 1-й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта