PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Математика / Степенные ряды
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Степенные ряды


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Степенные ряды


Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Степенные ряды Лекции12, 13, 14
Описание слайда:

Степенные ряды Лекции12, 13, 14

№ слайда 2 Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциона
Описание слайда:

Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

№ слайда 3 Пример функционального ряда Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем
Описание слайда:

Пример функционального ряда Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х.

№ слайда 4 Степенные ряды Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд являетс
Описание слайда:

Степенные ряды Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .

№ слайда 5 Интервал сходимости степенного ряда Для любого степенного ряда существует конечн
Описание слайда:

Интервал сходимости степенного ряда Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

№ слайда 6 Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера Составим ряд из абсолютных
Описание слайда:

Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

№ слайда 7 Продолжение В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это
Описание слайда:

Продолжение В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование.

№ слайда 8 Примеры Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в
Описание слайда:

Примеры Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

№ слайда 9 Примеры Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его
Описание слайда:

Примеры Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).

№ слайда 10 Примеры Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =
Описание слайда:

Примеры Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =

№ слайда 11 Продолжение = . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степен
Описание слайда:

Продолжение = . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .

№ слайда 12 Пример Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше
Описание слайда:

Пример Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

№ слайда 13 Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда 1. Сумма степенного ряда явля
Описание слайда:

Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если .

№ слайда 14 Почленное дифференцирование 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степ
Описание слайда:

Почленное дифференцирование 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то

№ слайда 15 Почленное интегрирование 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом
Описание слайда:

Почленное интегрирование 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где .

№ слайда 16 Разложение функций в степенные ряды
Описание слайда:

Разложение функций в степенные ряды

№ слайда 17 Определения Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммо
Описание слайда:

Определения Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или .

№ слайда 18 Степенной ряд как ряд Тейлора Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то р
Описание слайда:

Степенной ряд как ряд Тейлора Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

№ слайда 19 Формула Тейлора Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен назы
Описание слайда:

Формула Тейлора Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

№ слайда 20 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Остаточный член в форме Лаг
Описание слайда:

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

№ слайда 21 Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x) Для того чтобы функцию можно бы
Описание слайда:

Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x) Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

№ слайда 22 Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора Если функция f(x) на инте
Описание слайда:

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

№ слайда 23 Разложение Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=
Описание слайда:

Разложение Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

№ слайда 24 Разложение в ряд синуса. Вычислим производные синуса:
Описание слайда:

Разложение в ряд синуса. Вычислим производные синуса:

№ слайда 25 Продолжение Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Т
Описание слайда:

Продолжение Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

№ слайда 26 Разложения некоторых функций в ряд Тейлора При решении задач удобно пользоваться
Описание слайда:

Разложения некоторых функций в ряд Тейлора При решении задач удобно пользоваться разложениями: 1. 2. 3.

№ слайда 27 Продолжение Геометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе ч
Описание слайда:

Продолжение Геометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд: 5.

№ слайда 28 Биномиальный ряд 6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса
Описание слайда:

Биномиальный ряд 6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

№ слайда 29 Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение фу
Описание слайда:

Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом. , где

№ слайда 30 Применение степенных рядов
Описание слайда:

Применение степенных рядов

№ слайда 31 Приближенное вычисление интегралов Разложения 1–7 позволяют, используя соответст
Описание слайда:

Приближенное вычисление интегралов Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

№ слайда 32 Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
Описание слайда:

Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

№ слайда 33 Продолжение Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакоч
Описание слайда:

Продолжение Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

№ слайда 34 Продолжение Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следую
Описание слайда:

Продолжение Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:

№ слайда 35 Приближенное вычисление значений функций Вычислить с точностью до 0,001.Преобраз
Описание слайда:

Приближенное вычисление значений функций Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

№ слайда 36 Продолжение Получим
Описание слайда:

Продолжение Получим

Скачать эту презентацию

Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru