Презентация на тему: Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Любое утверждение о виде или свойствах закона распределения наблюдаемых случайных величин Всякий раз предполагаем, что у нас имеются две взаимоисключающие гипотезы:основная и альтернативная

Нулевой (основной) гипотезой - H0 называют какое-либо конкретное предположение о теоретической функции распределения или предположение, влекущее за собой важные практические последствияАльтернативная гипотеза H1 - любая гипотеза, исключающая нулевую

Задача проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы, используя статистические данные (выборку) X1, X2, …, Xn, принять или отклонить нулевую гипотезу

Нулевые и альтернативные гипотезы формулируются как утверждение о принадлежности функций распределения некоторой случайной величины определенному классу распределений

Гипотеза называется простой, если соответствующий класс распределений содержит лишь одно распределение, в противном случае гипотеза будет сложной.Гипотезы о параметрах распределений называютсяпараметрическими

Статистикой критерия называется функция от выборки значение которой для заданной выборки служит основанием принятия или отклонения основной гипотезы

Статистический критерий - правило, позволяющее только по результатам наблюдений X1, X2, …, Xnпринять или отклонить нулевую гипотезу H0

Каждому критерию отвечает разбиение области значений статистики критерия на две непересекающихся части: критическую область 1 область принятия гипотезы 0

Критические области Односторонние Двусторонняя Неправдоподобно маленькие значения Приемлемые значения Неправдоподобно большие значения

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы 0 , то принимается нулевая гипотеза, в противном случае она отвергается (принимается альтернативная гипотеза)

Задать статистический критерий значит: задать статистику критерия задать критическую область

В ходе проверки гипотезы H0 можно прийти к правильному выводу, либо совершить два рода ошибок: ошибку первого рода -- отклонить H0, когда она верна ошибку второго рода -- принять H0, когда она не верна.

Так как статистика критерия есть случайная величина со своим законом распределения, то попадание её в ту или иную область характеризуется соответствующими вероятностями: вероятностью ошибки первого рода вероятностью ошибки второго рода

Ошибку первого рода ещё называют уровнем значимости критерия.Часто пользуются понятием мощности критерия W -- вероятности попадания в критическую область при условии справедливости альтернативной гипотезы

В общем случае вводят функцию мощности

При разработке статистического критерия невозможно одновременно минимизировать обе ошибки. Поэтому поступают следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается верхняя граница для ошибки первого рода Выбирается тот критерий, у которого наименьшая ошибка второго рода.

Распределение статистики критерия для нулевой и альтернативной гипотез (односторонний критерий)

Уровень значимости устанавливается из значений следующего ряда:0.05, 0.01, 0.005, …события с такими вероятностями считаются практически невозможными. Допустимая величина уровня значимости определяется теми последствиями, которые наступают после совершения ошибки.

Примеры формулировок статистических гипотез Гипотеза о виде распределения:произведено n независимых измерений случайной величины с неизвестной функцией распределения F(x). Следует проверить гипотезу:

Гипотеза однородности Произведено k серий независимых испытаний Можно ли с достаточной надежностью считать, что закон распределения наблюдений от серии к серии не менялся? Если это так, то статистические данные однородны. Проверяется гипотеза однородности: Гипотеза независимости

Гипотеза независимости Наблюдается двухмерная случайная величина = (1, 2) с неизвестной функцией распределения F (x, y) и есть основания полагать, что компоненты 1, 2 -- независимы.В этом случае проверяется гипотеза независимости:

Пять шагов проверки гипотезы 1 шаг – выдвигается основная гипотеза H02 шаг – задается уровень значимости α3 шаг – задается статистика критерия T(X) с известным законом распределения

4 шаг – из таблиц распределения статистики критерия находятся квантили, соответствующие границам критической области5 шаг – для данной выборки рассчитывается значение статистики критерия

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается на уровне значимости α.В противном случае принимается альтернативная гипотеза (отвергается нулевая гипотеза)

Среди критериев выделяются такие, которые улавливают любые отклонения от нулевой гипотезы.Они называются « критерии согласия »

Критерий согласия Колмогорова Применяется для проверки гипотезы о виде распределения При условии, что теоретическая функция распределения непрерывная и полностью определена

Критерий согласия Колмогорова За меру близости распределений принимается максимальное отклонение эмпирической функции распределения Fn(x) от теоретической F(x).

Статистика критерия Распределение статистики Колмогорова не зависит от F (x). При больших n оно стремится к распределению Колмогорова.

Критерий согласия χ2 Пирсона (хи-квадрат)Первоначально разработан для дискретных распределений

Простейшие параметрические гипотезы Гипотезы о среднем значении гауссовской случайной величиныГипотезы о сравнении дисперсий