Презентация на тему: Нам векторы идут на помошь

Что такое система координат?Что такое система координат?Рене ДекартЗадание прямоугольной системы координатВопросыПовторениеРешение задачВернуться на главную страницу

Декартовы прямоугольные координаты       О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат,  - базисные векторы,  - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy),  - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).Декартовы прямоугольные координаты       О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат,  - базисные векторы,  - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy),  - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox). Расположение точки M на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел : — расстояние от точки M до оси y с учетом знака — расстояние от точки M до оси x с учетом знакаДекартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.

ДЕКАРТ (Descartes), РенеДЕКАРТ (Descartes), Рене31 марта 1596 г. – 11 февраля 1650 г.Французский философ, физик, математик и физиолог Рене Декарт (латинизированное имя – Картезий; Cartesius) родился в Лаэ близ Тура в знатной, но небогатой семье. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу (окончил в 1614 г.) и в университете в Пуатье (1616). У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z,...) и коэффициентов (a, b, с,...), а также обозначения степеней (х4, a5,...). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.

1. Сколькими координатами может быть задана точка на прямой? 1. Сколькими координатами может быть задана точка на прямой?

Начертить прямоугольную трехмерную систему координат и отметить в ней точки: Начертить прямоугольную трехмерную систему координат и отметить в ней точки: А (1; 4; 3); В (0; 5; -3); С (0; 0; 3) и D (4; 0; 4)

Даны точки:Даны точки:

Даны координаты четырех вершин кубаДаны координаты четырех вершин куба

Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы.Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы.

Определение.Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкойНа рисунках вектор изображается отрезком со стрелкойВектор АВ, А – начало вектора, В – конец.CDEFLK

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0.

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 с = 17Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение.Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b , еслиа bа = b

Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Пусть а – произвольный ненулевой вектор.Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.a = АВ, b = BAВектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А.Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А.Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

Рассмотрим пример:Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK.Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

Правило треугольникаПравило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b

1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a2) (а+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон)

Правило многоугольникаПравило многоугольникаs=a+b+c+d+e+f k+n+m+r+p=0

Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.

Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 и Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 ипротивоположно направлены при k<0.Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства:Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства:(kn) а = k (na) (сочетательный закон) (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) == 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

1. Равные векторы имеют равные координаты.1. Равные векторы имеют равные координаты.

2. Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.2. Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.