Презентация на тему: математика векторы

УРАВНЕНИЕМ ДАННОЙ ЛИНИИ( В ВЫБРАННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ) НАЗЫВАЕТСЯ ТАКОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕ МЕННЫМИ Х И У КОТОРОМУ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ЭТОЙ ЛИНИИ И НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ ЛЮБОЙ ТОЧКИ НЕ ЛЕЖАЩЕЙ НА ЭТОЙ ЛИНИИ. Если известно уравнение линии то для любой точки плоскости можно решить задачу ; лежит она на данной линии или нет.Для этого достаточно подставить в данное уравне ние вместо переменных х и у координаты исследуемой точки;если координаты удовлетворяют данному уравнению то точка лежит на линии,если не удовлетворяют- не лежит. Пример: Лежат ли точки А(-2;1) и В(0;1) на линии 3х-у+7=0 ? Подставим вместо х и у координаты точки А получим :3(-2)-1+7=-7+7=0 следовательно точка А лежит на данной линии Подставим координаты точки

Два вектора называются компланарными если они параллельны одной и той же плоскости Линейной комбинацией векторов а1,а2,…,ап называется любой вектор вида х1а1+х2а2+… +хпап, где х1,х2,…,хп- числа называемые коэффициентами линейной комбинации.Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-либо векторов то говорят что он разложен по этим векторам. Векторным базисом на плоскости называют два произвольных неколлинеарных вектора этой плоскости,взятых в определенном порядке. Пусть (е1;е2)- один из базисов неко торой плоскости.Тогда любой вектор а этой плоскости можно единственным образом

Представлен в виде линейной комбинации базисных векторов а=хе1+уе2 (1)Т.е каждому вектору а на плоскости сопоставлена упорядоченная пара чисел х и у .Эти числа называют координатами вектора а в базисе (е1;е2).Базис (е1;е2) называется ортонормированным Если базисные векторы единичны и взаимно перпен- дикулярны.Векторы в этом базисе обозначаются i и j Пример: Разложение вектора а (х;у) по базису (I;j) имеет вид а=xi+yj Разложим вектор а(-2;5) по базису и получим а= -2i+5j. Если же вектор а задан своим разложением в базисе (I;j) то в этом базисе он имеет координаты (-2;5). Векторным базисом пространства называют тройку некомпланарных векторов взятых в определенном порядке.

Пусть (е1;е2;е3)- произвольный векторный базис пространства Так как базисные векторы некомпланар ны то можно показать ,что любой вектор а простран ства может быть представлен единственным образом в виде ; а=хе1+уе2+Ze3, (1) где х,у, ,-некоторые числа Для любого вектора а существует и притом только одна тройка чисел (х;у; z) удовлетворяющих равенству (1) и эти числа называют координатами вектора а в базисе (е1;е2;е3) и обозначают (х;у;z ). Базис (е1;е2;е3) пространства называется ортонормированным если базисные векторы единич- ны и попарно перпендикулярны. Базисные векторы пространства обозначают I,j,k Пример Разложение вектора а= (x;y;z) по базису (I;j;k) имеет вид a=xi+yj+zk (2) Разложим вектор а=(2;-1;3) по базису (I;j;k). a=2i-j+3k.Если а= 2j-5k то в этом базисе вектор а имеет координаты (0;2;-5).

коо ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ Наряду с прямоугольной системой координат на плоскости часто применяется полярная система коор- динат.Зададим на плоскости точку О .луч ОР и единич ный вектор е того же направления что и луч ОР Совокупность точки О луча ОР и единичного вектора е называется полярной системой координат Точка О называется полюсом, а луч ОР называется полярной осью. Возьмем на плоскости точку М не совпадающую с О Пусть r=|OM| Y=LPOM- величина направленного угла РОМ. Числа r и Y определяют положение единственной точки М на плоскости Они называются полярными координатами точки М r - полярный радиус, Y - полярный угол и обозначают М (r;Y).Если М совпадает с полюсом О то r =0, а число Y неопределенно Для других точек плоскости

В ; 3*0-1+7=6#0,т.е. точка В не лежит на данной линии. Линию на плоскости Оху можно задать при помощи двух уравнений {х=V(t) (1) {y=Y(t) Где х и у-координаты любой произвольной точки М(х;у) лежащей на данной линии, а t- переменная которая называется параметром При изменении параметра точка М(х;у) перемещается на плоскости описывая данную линию. Уравнения (1) называются параметри- ческими уравнениями линии. Например; уравнения x=r *cost (2) параметрические { y=r *sint уравнения окружности С центром в начале координат и радиусом r. КАНОНИЧЕСКОЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

Пусть в ПСК Оху заданы точка М0(х0;у0) и ненулевой вектор а(а1;а2).Требуется составить уравнение прямой проходящей через точку М0 и параллельной вектору а. Любой ненулевой вектор а, параллельный прямой l называется направляющим вектором этой прямой. Согласно аксиоме о параллельности прямых через дан ную точку М0(х0;у0) проходит единственная прямая с данным направляющим вектором а.Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у)Тогда вектор М0М=( х-х0;у-у0) и а(а1;а2) коллинеарны тогда при а1#0 и a2#0 име ем х-х0\а1 =у-у0\а2 (3)- каноническое уравнение прямой или уравнение прямой, проходящей через дан ную точку параллельно заданному вектору. Если а1=0,а2#0, то напрвляющий вектор а ,и следова- тельно прямая l перпендикулярны к оси Ох ( паралле- льны оси Оу) В этом случае уравнение прямой имеет вид Х=Х0 (4).Если а1=0,а2=0,то направляющий

Вектор а,и следовательно и прямая l перпендикулярны к оси Оу( параллельны оси Ох) В этом случае уравнение имеет вид У=У0. Пример;Дан треугольник с вершинами А(-1;-2),В(2;-2), и С(1;3).Составить уравнение прямой проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. За направляющий вектор искомой прямой примем вектор АВ(3;0).Ордината направляющего вектора а2=0,поэтому уравнение прямой имеет вид у=у0.Заменив у0 ординатой точки С,найдем у=3. ОБОЗНАЧИМ буквой t каждое из равных отношений урав-нения (1) получим Х-Х0\ a1=t } → x=x0+a1t Y-y0 \a2=t y=y0+a2t } (4) - параметрические уравнения прямой

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ДАННОМУ ВЕКТОРУ Пусть в плоскости Оху заданы некоторая точка М0(х0;у0) и ненулевой вектор п с координатами (А,В).Требуется соста вить уравнение прямой l ,проходящей через точку М0 и перпендикулярный вектору n. Любой ненулевой вектор n перпендикулярный прямой l называется нормальным вектором этой прямой. Если через точку М0 в плоскости Оху проходит единствен- ная прямая l имеющая нормальный вектор п.Возьмем на прямой l произвольную точку М(х;у).Тогда вектор М0М перпендикулярен вектору п и следовательно скалярное произведение равно нулю т.е п*М0М=0.Учитывая, что ММ0=(х-х0;у-у0)и п=(А,В) выразим равенство (1 в координатной форме А(х-х0)+В(у-у0)=0 (2).-уравнение (2) называется уравнением прямой проходящей через точку М0(х0;у0) с заданным нормальным вектором п=(А;В)