Презентация на тему: Комбинаторика. Комбинаторные задачи
Комбинаторика. Комбинаторные задачи. Подготовила учитель математики ССКОШ I и II видов Соколова Н.Н.
Задача о бесплатном обеде 10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие - по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые-по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился.Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: — Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.Все сели как попало.
Официант продолжал: — Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черёд вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало ни много, 3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет!
Комбинаторика Раздел математики, в котором изучают, сколько комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных объектов, называется комбинаторикой
Метод перебора вариантов Задача1 Из цифр 4,6,7 составляют различные трехзначные числа без повторяющихся цифр. а) Сколько всего чисел можно составить? б) Найдите наибольшее число. в) Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7. г) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно составить?
Решение а) Зафиксируем на первом месте цифру 4 , получаем два возможных варианта: 467; 476 Затем на первое место ставим цифру 6, получаем тоже два варианта: 647; 674 Наконец, на первое место ставим цифру 7, получаем еще два варианта: 746; 764 Итого, всего можно составить 6 чисел; б) Наибольшее число: 764; в) Наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7: 476; г) Можно составить два числа, оканчивающихся цифрой 7: 467; 647.
В приведенном примере использован не случайный, а разумно организованный перебор. Хорошо подобранный перебор вариантов крайне важен в более сложных ситуациях, когда и количество возможных комбинаций достаточно велико, и подсчет приходится вести, рассматривая различные случаи. Решение комбинаторных задач можно оформить и по-другому, составив так называемое дерево возможных вариантов.
Дерево возможных вариантов Задача1 В коридоре три лампочки. а) Сколько имеется различных способа освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят? б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки №1 и №2 горят или не горят одновременно?
Решение а) В корень дерева поместим первую лампочку.Она может гореть(показано красной стрелкой), а может не гореть (голубая стрелка).В следующих уровнях дерева показаны варианты освещения второй и третьей лампочек. В итоге существует 8 различных способов освещения коридора.
Эти способы также можно записать, обозначаю горящую лампочку знаком «+», негорящую ламочку-знаком «-». + + + + + - + - + + - - - - - - + + - + - - - +
б) Выбираем из 8 найденных способов те, которые соответствуют условию — лампочки №1 и №2 горят или не горят одновременно. + + + + + - - - - - - + Получаем 4 комбинации.
в) Сколько имеется различных способов освещения коридора, когда горит большинство лампочек?
в) Выбираем те комбинации, которые соответствуют условию — горит большинство лампочек,т.е. должны гореть 2 или 3 лампочки + + + + + - + - + - + + Получаем 4 комбинации. Ответ: 8 способов; 4 способа; 4 способа.
Задачи: 1) Из цифр 0; 1; 4; 8; 9 составляют двузначное число (повторение допускается). а) Сколько всего чисел можно составить? б) Укажите наибольшее число. в) Укажите наименьшее число, кратное 9. г) Сколько четных чисел можно составить? д) Перечислите все числа, которые кратны 8.
Задачи: 2) Для завтрака на кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу.Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака. б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток? в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром? г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на черный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?
