PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Математика / Исследование функций и построение графиков
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Исследование функций и построение графиков


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Исследование функций и построение графиков


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 Исследование функций и построение графиков
Описание слайда:

Исследование функций и построение графиков

№ слайда 2 Теоретический материал
Описание слайда:

Теоретический материал

№ слайда 3 Содержание 1) Область определения функции2) Свойства функции (четность, нечетнос
Описание слайда:

Содержание 1) Область определения функции2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность)4) Точки пересечения функции с осями координат5) Непрерывность функции. Характер точек разрыва6) Асимптоты7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность8) Выпуклость функции. Точки перегиба

№ слайда 4 Область определения функции Определение. Областью определения функции называется
Описание слайда:

Область определения функции Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена.Примеры.

№ слайда 5 Четные и нечетные функции Функция y=f(x) называется четной, еслиФункция y=f(x) н
Описание слайда:

Четные и нечетные функции Функция y=f(x) называется четной, еслиФункция y=f(x) называется нечетной, если

№ слайда 6 Периодичные функции Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если с
Описание слайда:

Периодичные функции Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что если х принадлежит Df , то х±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).

№ слайда 7 Точки пересечения с осями координат При исследовании функции необходимо найти ко
Описание слайда:

Точки пересечения с осями координат При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

№ слайда 8 НепрерывностьХарактер точек разрыва Функция у=f(x) называется непрерывной в точк
Описание слайда:

НепрерывностьХарактер точек разрыва Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если функция определена в точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0. Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями. Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).

№ слайда 9 Точки разрыва функции Определение. Точкой разрыва функции называется точка из об
Описание слайда:

Точки разрыва функции Определение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, в которой функция не является непрерывной.Пример. Функция

№ слайда 10 Классификация точек разрываТочки устранимого разрыва Если в точке х0 существуют
Описание слайда:

Классификация точек разрываТочки устранимого разрыва Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.

№ слайда 11 Классификация точек разрываТочки скачка Если в точке х0 существуют конечные одно
Описание слайда:

Классификация точек разрываТочки скачка Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).

№ слайда 12 Классификация точек разрываТочки разрыва II рода Если хотя бы один из односторон
Описание слайда:

Классификация точек разрываТочки разрыва II рода Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

№ слайда 13 Вертикальные асимптоты Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика фу
Описание слайда:

Вертикальные асимптоты Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при , если

№ слайда 14 Наклонные асимптоты
Описание слайда:

Наклонные асимптоты

№ слайда 15 Экстремумы функции Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а,
Описание слайда:

Экстремумы функции Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b). Точка х0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x)< f (x0) ( f (x) > f (x0) ). Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.

№ слайда 16 Исследование функции на монотонность Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а
Описание слайда:

Исследование функции на монотонность Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в (а, b). Рассмотрим функцию f(x) = x + 1|xКритические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х<-1 и при х>1; f '(x)<0 при -1<x<0 и при 0<x<1.

№ слайда 17 Выпуклость функции Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется
Описание слайда:

Выпуклость функции Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1<х2, следует, что часть графика функции между точками (х1,f(х1)) и (х2,f(х2)) лежит выше (ниже) хорды, соединяющей эти точки.

№ слайда 18 Выпуклость функции.Точки перегиба Также говорят, что график функции f (x) имеет
Описание слайда:

Выпуклость функции.Точки перегиба Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной. Если график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функции f(x).

№ слайда 19 Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба Достаточно
Описание слайда:

Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба Достаточное условие строгой выпуклости функции Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)<0, то на интервале (а,b) функция выпукла вверх.Достаточное условие строгой выпуклости функции Если в левой и правой полуокрестностях некоторой точки х0 f ''(x) имеет противоположные знаки, то точка х0 – точка перегиба функции.

№ слайда 20 Практический материал
Описание слайда:

Практический материал

№ слайда 21 1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - в
Описание слайда:

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось 2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

№ слайда 22 4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как
Описание слайда:

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

№ слайда 23 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 - ед
Описание слайда:

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат. Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

№ слайда 24 6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в
Описание слайда:

6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.

№ слайда 25 7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Чис
Описание слайда:

7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.

№ слайда 26 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследован
Описание слайда:

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

№ слайда 27 Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f) =
Описание слайда:

Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

№ слайда 28 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по ф
Описание слайда:

4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .При имеем:

№ слайда 29 Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так что п
Описание слайда:

Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox. 5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и .

№ слайда 30 Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит
Описание слайда:

Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при . 6) Вычислим производную: Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.

№ слайда 31 Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием,
Описание слайда:

Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Эскиз графика функции f(x)

№ слайда 32 Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика ви
Описание слайда:

Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную: Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.

№ слайда 33 Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки
Описание слайда:

Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие: 8). Осталось построить окончательный чертёж: График функции (x2 – 2x)ex .

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru