Презентация на тему: Подготовка к ЕГЭ: системы счисления

Подготовка к ЕГЭ: системы счисления Автор: Мочалова Марина Владимировна, учитель информатики ГБОУ лицей №144 Калининского р-на г.Санкт-Петербург

Задание 1 (Демо-2015, задание 4) Сколько единиц в двоичной записи числа 519? Вариант 1 (прямой перевод): переводим число 519 в двоичную систему: 519 = 10000001112 Ответ: 4 Вариант 2 (разложение на сумму степеней двойки): 519 = 512 + 4 + 2 + 1 = 29 + 22 + 21 + 20 Ответ: 4 Вариант 3 (определение количества нечетных чисел при последовательном делении на 2 исходного числа и получаемых частных): 519 → 259 → 129 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 1 1 1 Ответ: 4

Задание 2 (http://ege.yandex.ru) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 243? Ответ: 1 Задание 3 (http://ege.yandex.ru) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 242? Ответ: 6 Задание 4 (http://ege.yandex.ru) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 242? Ответ: 0 Проверь себя!

Задание 5 (http://ege.yandex.ru) Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них. 1) 1510 2) 778 3) 3458 4) FA16 Решение: Для решения задачи необходимо перевести в двоичную систему счисления все числа. Первое число переводим любым методом, поскольку оно небольшое. Например, разложим его на сумму степеней двойки: 15 = 8 + 4 +2 + 1 =23 + 22 +21 + 20 = 11112  Три следующих числа переводим, используя таблицы соответствия двоичной-восьмиричной и двоичной-шестнадцатиричной (таблицы соответствия систем счисления, родственных двоичной).  778 = 111 1112 3458 = 11 100 1012 FA16 = 1111 10102  Как видим, два числа имеют в двоичной системе счисления 5 единиц – число 1510 = 11112 и число 3458 = 11 100 1012. В нашем случае в ответе требуется указать наибольшее из них – это число 3458 Ответ: 3)

Задание 6 Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 4 единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них. 1) 1410 2) 3418 3) 718 4) F716 Ответ: 2) Задание 7 Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 6 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них. 1) FA16 2) 2510 3) 3458 4) 778 Ответ: 1) Задание 8 Даны 4 числа, они записаны с использованием разных систем счисления. Укажите среди них то число, двоичная запись которого содержит ровно шесть «1». Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них. 1)6310*410 2)3338 3)F816 + 110 4)111001112 Ответ: 1) Проверь себя!

Задание 9 (ФИПИ, открытый банк заданий) Укажите наибольшее основание системы счисления, в которой запись числа 15 имеет ровно 3 значащих разряда. Решение: Поскольку по условию задачи запись числа 15 в системе счисления с основанием р имеет три значащих разряда, то можно записать 100р ≤ 15 < 1000р или р2≤ 15 15 33>15 27>15 Ответ: 3

Задание 10 (ФИПИ, открытый банк заданий) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 19 имеет ровно 3 значащих разряда. (3)   Задание 11 Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 65 имеет ровно 3 значащих разряда. Ответ: 5   Задание 12 Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 130 имеет ровно 4 значащих разряда. Ответ: 5 Проверь себя!

Задание 13 Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 65 имеет ровно 3 значащих разряда. Ответ: 5 Задание 14 (ФИПИ открытый банк заданий) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 97 имеет ровно 3 значащих разряда. Ответ: 6 Задание 15 (ФИПИ открытый банк заданий) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 16 записывается как 100. Укажите это основание  Решение: Запишем условие задачи: 16 = 100р (р – искомое основание системы счисления). Решаем уравнение: 16 = р2 и получаем р=4  Ответ: 4

Задание 16 Десятичное число 65 в некоторой системе счисления записывается как 230. Определите основание системы счисления. Решение По условию задачи: 65 = 230р, где р – искомое основание системы счисления. Представим это равенство в десятичной системе счисления: 65 = 2*р2 + 3*р Получаем квадратное уравнение 2р2 + 3р - 65 = 0 Находим его корни, учитывая, что основание системы счисления р – натуральное число (p>=2). Получаем р=5. Ответ: 5

Задание 17 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 26 записывается как 101. Укажите это основание. Ответ: 5   Задание 18 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается как 1000. Укажите это основание. Ответ: 3   Задание 19 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 37записывается как 101. Укажите это основание. Ответ: 6   Задание 20 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 37 записывается как 123. Укажите это основание. Ответ: 5 Проверь себя!

Задание 21 Решите уравнение 1D16 + 728 = X2. Основание системы счисления в ответе не указывать. Решение Как видно из условия, все числа в задании представлены в системах счисления, родственных двоичной (8-ричной и 16-ричной). Искомое число записано в двоичной системе счисления, поэтому для решения нужно все числа записать в двоичной системе счисления, затем выполнить их сложение. 1D16 = 111012 728 =1110102 Собирая всё в одно уравнение, получаем X2 = 111012 +1110102 Выполняем сложение, получаем результат: X2 =10101112 Ответ: 1010111

Задание 22 Решите уравнение 121x + 1 = 1017 . Ответ дайте в троичной системе счисления. Решение Переведём все числа в десятичную систему счисления: 121х = 1·х2 + 2·х + 1 1017 = 1·72 + 0·71 +1·70=50  Собираем всё в одно уравнение, получаем х2 + 2х + 1 +1 + 50 х2 + 2х – 48 = 0 Это уравнение имеет два решения, х=6 и х= -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ х= 6 Переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙31 = 203. Ответ: 203

Задание 23 Решите уравнение 425 + x = 11234. Ответ дайте в шестиричной системе счисления. Основание системы счисления не указывать. Ответ: 153  Задание 24 Решите уравнение 123 + 12x = 128 Ответ: 3  Задание 25 Решите уравнение 1007 + x = 2305 Ответ: 16  Задание 26 Решите уравнение 215 + 113 = 120x Ответ: 3 Проверь себя!

Задание 27 Найдите наименьшие значения x и y, при которых существует равенство 147 + x = 14y. Ответ запишите в троичной системе счисления через запятую. Основание системы счисления указывать не нужно. Решение: 1)запишем равенство в десятичной системе счисления: 1*7 + 4 + х = y + 4 11 + x = y + 4 2) Из условия следует, что y>=5 (т.к. число 14y в системе счисления с основанием у содержит значащие цифры 1 и 4). Минимальное значение уmin = 5. 3) Минимальное значение хmin получается при минимальном значении уmin . 4) При уmin=5 получаем хmin=2 . 5) Переводим 2 и 5 в троичную систему счисления: 2 =23 5=123. Ответ: 2,12

Задание 28 Решите уравнение 425 + x = 11234 Ответ дайте в шестиричной системе счисления. основание системы счисления не указывать. Ответ: 153  Задание 29 Решите уравнение 123 + 12x = 128 Ответ: 3  Задание 30 Решите уравнение 1007 + x = 2305 Ответ: 16  Задание 31 Решите уравнение 215 + 113 = 120x Ответ: 3 Проверь себя!

Задание 32 Даны числа а = 9216 и b = 2248. Для какого двоичного числа с выполняется неравенство a

Задание 33 – (ФИПИ) Даны числа а = 3D16 и b = 778. Для какого двоичного числа с выполняется неравенство a

Задание 36 (http://ege.yandex.ru) Сколько есть систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 2? Решение: по условию число 22 в некоторой системе счисления с основанием р оканчивается на 2, значит, его можно записать в виде 22 = k*p + 2, где k =1,2,3,… Получаем k*p = 20, т.е. значения р являются делителями числа 20. Это числа 4,5,10,20, всего их 4. Ответ: 4   Задание 37 (ФИПИ) Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4? Решение: по условию число 22 в системах счисления с основанием р должно оканчиваться на 4, значит, его можно записать в виде 22 = k*p + 4, где k =1,2,3,… Получаем k*p = 18, т.е. значения р являются делителями числа 18. Это числа 2,3,6,9,18, всего их 5. Но в двоичной и троичной системах счисления нет цифры 4. Значит, ответом будут три основания р=6, р=9 и р=18 Ответ: 6,9,18

Задание 38 - http://ege.yandex.ru В системах счисления с основанием р запись числа 77 оканчивается на 0, а запись числа 29 – на 1. Чему равно это число? Решение: 1)поскольку число 77 в р-ричной системе счисления оканчивается на 0, то основание р является делителем числа 77, т.е. возможны значения р=7, р=11, р=77 2) поскольку число 29 в р-ричной системе счисления оканчивается на 1, то основание р является делителем числа 28, т.е. возможны значения р=2, р=4, р=7, р=14, р=28 3)общим основанием для обоих чисел является р=7 Ответ: 7

Задание 39 (ФИПИ) Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3? Ответ: 7,21   Задание 40 (ФИПИ) Сколько существует систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 7? Ответ: 4   Задание 41 (ФИПИ) Сколько существует систем счисления, в которых запись числа 28 оканчивается на 4? Ответ: 4 Проверь себя!