Презентация на тему: Принцип Дирихле

1. Ознакомиться с биографией Дирихле 1. Ознакомиться с биографией Дирихле 2. Рассмотреть различные формулировки принципа Дирихле 3. Научиться применять изученный принцип к решению задач 4. Классифицировать задачи в соответствии с их содержанием: а) геометрические задачи; б) задачи на пары; в) задачи на знакомства и дни рождений; г) задачи на среднее арифметическое; д) задачи на делимость; е) задачи на комбинаторику; ж) задачи на теорию чисел; 5. Придумать свои задачи, и решить их используя принцип Дирихле

ДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен(13.2.1805-5.5.1859) - немецкий математик. Род. в Дюрене. В 1822-1827 Д. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 Д. занял место доцента в Бреславле; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855 - профессор Берлинского ун-та, а после смерти К. Гаусса (1855) - Геттингенского ун-та. ДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен(13.2.1805-5.5.1859) - немецкий математик. Род. в Дюрене. В 1822-1827 Д. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 Д. занял место доцента в Бреславле; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855 - профессор Берлинского ун-та, а после смерти К. Гаусса (1855) - Геттингенского ун-та.

Д. создал общую теорию алгебраических единиц в алгебраическом числовом поле. Д. создал общую теорию алгебраических единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа Д. впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функции, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Д. в механике и математической физике, в частности в теории потенциала.

Д. сделал ряд крупных открытий в теории чисел: установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - взаимно просты. К решению этих задач Д. применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле. Д. сделал ряд крупных открытий в теории чисел: установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - взаимно просты. К решению этих задач Д. применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле.

Наиболее применяемая формулировка: Наиболее применяемая формулировка: "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов "

У1. «Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка» У1. «Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка» У2. «Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х «кроликов» У3. «Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов» У4. «Если в n клетках сидят не менее n k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов»

У5. Непрерывный принцип Дирихле. У5. Непрерывный принцип Дирихле. «Если среднее арифметическое нескольких чисел больше a, то, хотя бы одно из этих чисел больше a»; У6. «Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n». У7. «Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток».

Задача №6. («на делимость») Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что число N. Решение. Докажем, что N 5-N кратно 10.

Решение Решение Возьмем за «кроликов» шары, а за «клетки» - черный, белый, синий, красный цвета. Клеток 4, поэтому если кроликов, хотя бы 5, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика).

№8. Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? №8. Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?

Рассмотрим сначала случай, когда шашки белые. Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток. Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д. Итого получаем 8 способов. Рассмотрим сначала случай, когда шашки белые. Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток. Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д. Итого получаем 8 способов. 2) Теперь рассмотрим случай цветных шашек. Возьмём произвольную расстановку белых шашек. Будем раскрашивать эти шашки в 8 цветов, так чтобы любые две из них были покрашены в разные цвета. Первую мы можем покрасить в один из 8 цветов, вторую — в один из 7 оставшихся и.т. д. Т. е. всего 8 способов раскраски. Поскольку способов расстановки тоже 8 , и каждую из этих расстановок мы можем раскрасить 8 способами, то всего способов в этом случае 8·8=8². Ответ: 8² способов, 8 способов.

№9. В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове. №9. В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.

1) На голове может быть 0, 1, …, 300 000 волос — всего 300 001 вариант. Каждого москвича отнесём к одной из 300 001 групп в зависимости от количества волос. 1) На голове может быть 0, 1, …, 300 000 волос — всего 300 001 вариант. Каждого москвича отнесём к одной из 300 001 групп в зависимости от количества волос. 2) Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек. 3)Тогда всего в Москве живёт не более 33·300 001=9 900 033 < 10 000 000 человек, что противоречит условию. 4) Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся.

images.yandex.ru (фото Дирихле, картинки о школе) images.yandex.ru (фото Дирихле, картинки о школе) http://bars-minsk.narod.ru/teachers/dirichle.html http://www.bestreferat.ru/referat-4776.html