Презентация на тему: Объем прямой призмы

Объем прямой призмы

Цели урока: Вспомнить понятие призмы.Изучить теорему об объеме призмы.Провести доказательство.Применить полученные знания на практике.

Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2 и Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой.Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту ДоказательствоСначала докажем теорему для прямоугольной призмы, а затем –для произвольной прямой призмы.

Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1 с объёмом V и высотой h.Проведем такую высоту треугольника ABC (на рис. BD),которая разделяет этот треугольник на два треугольника.Плоскость BB1D разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны S ABD ·h и S BDC ·h. По свойству 2° объемов V=V1 +V2, т.е V=SABD ·h=(SABD+SBDC) · h. Таким образом, V= SABC ·h.

Теорема для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. На рис. изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы. Выразим объем каждой прямоугольной призмы по формуле V= SABC ·h и сложим эти объемы. Мы вынесем за скобки общий множитель h, потом получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению S · h.

Задача Дано: ABCA1B1C1- прямая призма.AB=BC=m; ABC= φ,BD- высота в ∆ ABC;BB1=BD.Найти: VABCA1B1C1-?

Решение: S ABC ·h, h=BB1.Рассмотрим ∆ ABC; ∆ ABC- р/б. BD- высота ∆ ABC, следовательно медиана и биссектриса. ABD= DBC= φ/23) Рассмотрим ∆ ABD; ∆ ABD- прямоугольный. Из соотношения в ∆: cosφ/2 = BD/AB BD= cosφ/2 AB, BD=m cosφ/2 (AB=m)4) Т.к. BD=BB1 BB1=m · cos φ /25) S ABC= ½ AB·BC· sinφ; S ABC= ½ m2 · sinφ6) V= ½ m2 · sinφ· mcosφ/2=½ m3 · sinφ · cosφ/2Ответ: ½ m3 · sinφ · cosφ/2

Вопросы: Как найти объем прямой призмы?Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы?

Работу выполнили:Шахбазян Эллена,11”В” Шмырева Юлия,11 “В” Двадненко Аня,11 “В”

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ =)