Презентация на тему: Вероятность

Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен: Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен: знать определение математического ожидания конечной случайной величины, понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений величины; знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач; знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание величины, уметь вычислять дисперсию и стандартное отклонение; знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов в серии испытаний Бернулли.

Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п.53. Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п.53. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 р., 10 билетов с выигрышем по 100 р. и остальные 89 билетов без выигрыша. Какой средний выигрыш соответствует 1 билету? Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01. Если покупатель приобретает все 100 билетов, то выигрыш составит 1500 руб, следовательно выигрыш, соответствующий одному билету в 100 раз меньше. 15 руб. (0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15. 15 руб – это среднее значение случайной величины. Оно называется математическим ожиданием случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей. Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей. Обозначим математическое ожидание Е(Х). Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называют число Е(Х)=х1р1+х2р2+х3р3+ … + хnрn Е(а)=а·1. Математическое ожидание постоянной величины равняется этой величине.

Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле. Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле. №3. Е(Z) = (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0. №4.Х- «число выпавших орлов» Е(Х)= 0·0,5+1·0,5=0,5

№5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости» №5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости» Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+ 9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7. Вернуться к этой задаче в п.54, при использовании свойств.

Задача № 9. Задача № 9. Х – «число клеток в подбитом корабле» Е(Х)=0·0,8 +1·0,04 +2·0,06 +3·0,06+4·0,04 = 0,5. Е(Х) = 0,5.

Задача № 10. Задача № 10. а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»

№10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков» №10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»

Свойство1.Пусть Х – случайная величина, а – некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y=аХ. Тогда Е(Y)=аЕ(Х). Свойство1.Пусть Х – случайная величина, а – некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y=аХ. Тогда Е(Y)=аЕ(Х). Свойство 2. Пусть U и V – две случайные величины. Тогда U + V – также случайная величина, и при этом Е(U+V) = E(U)+E(V). Это значит, что математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Задача № 1. Задача № 1. Х – «число очков, выпавших на одной игральной кости» Е(Х) = 3,5 Тогда при пяти бросаниях математическое ожидание равно а).3,5·5 = 17,5 б).3,5·7 = 24,5 в).3,5·100 = 350 г).3,5·k = 3,5k Задача № 2. Применение свойств.

Задача № 3. Задача № 3. р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2 р = 1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 5 a). Z=X+Y, E(Z) = E(X)+E(Y) E(Z)= 2+5 = 7 б). Z=X-Y E(Z) = 2-5 = -3.

Задача № 5. Задача № 5. Т.к. бросаний 5, то всего событий 32. Х – «выпадение орлов» Е(Х)=1/32·(0+ 1·5+2·10+3·10+4·5+5·1)= 80 · 1/32 = 2,5 Е(Х) = 2,5 Задача № 6 разбирается подробно в п.58.

Дисперсия - мера рассеивания.(п.55) Дисперсия - мера рассеивания.(п.55) Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины (Х –Е(Х))². D(X) = E((Х –Е(Х))²) Стандартное отклонение σ = √D(X) Свойства дисперсии. 1.Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину Y = аХ, где а - некоторое число. Тогда D(Y) =a²D(X) 2. Пусть Х – случайная величина . Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда D(Y) = D(X)

Задача № 2. Задача № 2. Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью успеха р. Случайная величина S – «число успехов». Найти D(S). Е(S) = р D(X) = E((Х –Е(Х))²) D(S) = р²(1- р)+(1- р)²р = р(1- р)(р + 1- р) = р(1- р) = р - р²

Задача № 3. Задача № 3. D(X) = E((Х –Е(Х))²) а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0 D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3 б). Аналогично.

Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х. D(X) = E((Х –Е(Х))²) Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х. D(X) = E((Х –Е(Х))²) Е(Х) = 3 Е((Х-Е(Х))²) = 25·0,1+9·0,1+4·0,2+4·0,6= 6,6 D(X) = 6,6 Задачи № 5,6 решаются аналогично.

Задача № 7. Задача № 7. а). Случайная величина Х принимает значения от 0 до 6 с равными вероятностями, т.е. р =1/7. Найти D(X). D(X) = E((Х –Е(Х))²) Е(Х)=21·1/7 =3 Значения Х- Е(Х) от -3 до 3. Тогда D(Х)=4. б). Случайная величина Y принимает значения от 1 до 7, т.е. Y = Х + 1. Следовательно, по свойству дисперсии D(Y) = D(X). Т.е. D(Y) = 4.

Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии. Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии. a). D(X) = 3, Y=3X, D(Y)= 9D(X), D(Y)=27 б). Y=X+5. D(Y)=D(X) D(Y)=3. е). Y=-5X-7. D(Y)= 25D(X)=75. Остальные решаются аналогично.

Если S – число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, то Е(S) = np.

Задача № 1. Задача № 1. 2000 – окуней и 1000 – карасей. Всего 3000 рыб. Найти ожидаемое число карасей. E(S) = np S = 0;1; 2;4; …;30 Е(S) = 30p E(S) = 10

Задача № 3. Задача № 3. n=120 а).S – «число очков кратно 3» При бросании игральной кости с равной вероятностью 1/6 выпадают 1, 2, 3,4,5,6. Успехов 2 (значения 3 и 6). Следовательно вероятность события Х при однократном бросании равна 1/3. Т.е. Е(S) = 120∙1/3 = 40. б). Аналогично.

Задача № 4. Задача № 4. Вероятность успеха 0,25. Следовательно Е(S)=16·0.25=4. Т.е. ожидаемое число правильных ответов 4. Задача №5. Математическое ожидание случайной величины «число выпадений острием вверх» равно 135. n=300. Найти р. Е(S) = np. р·300 = 135, p = 0,45

Дисперсия числа успехов S в серии испытаний Бернулли вычисляется по формуле D(S) = npq. Дисперсия числа успехов S в серии испытаний Бернулли вычисляется по формуле D(S) = npq. n – число испытаний Бернулли р – вероятность успеха q – вероятность неудачи

Задача № 1. Задача № 1. n = 100 p = 0,36, следовательно q = 0,64. D(S) = 0,36·0,64·100 = 23,04 σ = √D(S) σ = √23,04 = 4,8 Задача № 2. а). Х – «выпавшее число очков кратно 3» D(X) = 3000

Задача № 3. Задача № 3. S – число попаданий серии выстрелов по мишени. р – вероятность попадания (вероятность успеха) Найти дисперсию величины S. а). D(X) = npq. р=0,3, тогда вероятность неудачи равна 0,7. число выстрелов равно 100. Тогда дисперсия равна 21. в). При 2500 выстрелах дисперсия равна 525.

К задаче № 4 даны рекомендации в ответе. К задаче № 4 даны рекомендации в ответе.