Презентация на тему: Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные Автор: Жагалкович Полина СергеевнаУчебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-АмуреАдрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10 Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 2. Доказать, что для любых x и y Доказательство.Пример 3. Доказать, что Доказательство.Пример 4. Доказать, что для любых a и bДоказательство.

2. Метод от противного Вот хороший пример применения данного метода.Доказать, что для a, b ϵ R. Доказательство.Предположим, что . Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.Ч.Т.Д.

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенствоДоказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения: , что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Использование свойств квадратного трехчлена Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если и .Пример 6. Доказать, что Доказательство.Пусть , a=2, 2>0 =>

Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенствоДоказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х: , а>0, D<0D= => P(x)>0 и верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть ,Это означает, что для любых действительных у и неравенство выполняется при любых действительных х и у.

Метод введения новых переменных или метод подстановки Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , , . Получаем исследуемое неравенство

Использование свойств функций. Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим 2 случая:Если а=b,то вернопричем равенство достигается только при а=b=0.2)Если , на R => ( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример 12. Доказать, что для любого nϵNПроверим истинность утверждения при - (верно)2) Предположим верность утверждения при (k>1)

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним и : , Имеем:Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств Теорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство БернуллиРассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши) Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когдаРассмотрим частные случаи этой теоремы:

Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, тогдаПусть n=3, , , , тогдаПример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.  

Неравенство Бернулли Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенствоНеравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство.Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения , получим требуемое неравенство.Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство.по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.