Презентация на тему: Системы Счисления

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Введение Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система Другие системы счисления

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Тема 1. Введение

* Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

* Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Десятичная египетская система счисления: – 1 – 10 – 100 – 1000 – 10000 – 100000 – 1000000 чёрта хомут верёвка лотос палец лягушка человек = ?

* Непозиционные системы Римская система счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

* Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX = 1644

* Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =

* Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов номера месяцев

* Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

* Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10 3 7 8 2 1 0 разряды 8 70 300 = 3·102 + 7·101 + 8·100 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

* Позиционные системы Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X. в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение 58 = 46x 1 0 58 = 46x = 4·x1 + 6·x0 = 4·x + 6 58 = 4·x + 6 x = 13

* Позиционные системы Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим в десятичную систему решаем уравнение 16x + 33x = 52x x = 7 4·x + 9 = 5·x + 2 33x = 3·x + 3

* Позиционные системы Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 переводим в десятичную систему решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …) 21x + 32x > 102x x = 4,5 5·x + 3 > x2 + 2 32x = 3·x + 2

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Тема 2. Двоичная система счисления

* Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2 10 2 2 10 19 19 = 100112 система счисления 100112 4 3 2 1 0 разряды = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 16 + 2 + 1 = 19

* Примеры: 131 = 79 =

* Примеры: 1010112 = 1101102 =

* Метод подбора 10 2 77 = 64 + 77 77 64 Разложение по степеням двойки: 77 = 26 + 23 + 22 + 20 + 8 + … + 4 + … + 1 77 = 10011012 6 5 4 3 2 1 0 разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 = 1 26 + 0 25 + 0 24 + 1 23 +1 22 +0 21 + 1 20 13 13 5 1 5 1 8 4 1 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

* Перевод дробных чисел 10 2 2 10 0,375 = 2 101,0112 2 1 0 -1 -2 -3 разряды = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3 = 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375 ,750 0 0,75 2 ,50 1 0,5 2 ,0 1 0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой. 0,0112

* Примеры: 0,625 = 3,875 =

* Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112 0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1 перенос заем 1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12 1 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12 1 0 102 1 0 0 1 1 102 0 1 0

* Примеры:

* Примеры:

* Арифметические операции умножение деление 1 0 1 0 12 1 0 12 1 0 1 0 12 + 1 0 1 0 12 1 1 0 1 0 0 12 1 0 1 0 12 – 1 1 12 1 1 12 1 1 1 12 – 1 1 12 0

* Плюсы и минусы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. двоичные числа имеют много разрядов; запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

* Двоично-десятичная система BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде) 9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001BCD 9 0 2 4 , 1 9 1 0101 0011, 0111 1BCD = 0001 0101 0011, 0111 1000 BCD = 153,78 10 BCD BCD 10 10101,1 BCD = 15,8 10101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Тема 3. Восьмеричная система счисления

* Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 8 8 10 100 100 = 1448 система счисления 1448 2 1 0 разряды = 1·82 + 4·81 + 4·80 = 64 + 32 + 4 = 100

* Примеры: 134 = 75 = 1348 = 758 =

* Таблица восьмеричных чисел X10 X8 X2 X10 X8 X2 0 0 000 4 4 100 1 1 001 5 5 101 2 2 010 6 6 110 3 3 011 7 7 111

* Перевод в двоичную и обратно 8 10 2 трудоемко 2 действия 8 = 23 17258 = 1 7 2 5 001 111 010 1012 { { { {

* Примеры: 34678 = 21488 = 73528 = 12318 =

* Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 1 3 5 7 Ответ: 10010111011112 = 113578 001 001 011 101 1112 1

* Примеры: 1011010100102 = 111111010112 = 11010110102 =

* Арифметические операции сложение 1 5 68 + 6 6 28 1 6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0 1 в перенос 1 в перенос 08 0 4 1 в перенос

* Пример

* Арифметические операции вычитание 4 5 68 – 2 7 78 (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем 78 1 5 заем

* Примеры

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

* Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 16 16 10 107 107 = 6B16 система счисления 1C516 2 1 0 разряды = 1·162 + 12·161 + 5·160 = 256 + 192 + 5 = 453 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 B C

* Примеры: 171 = 206 = 1BC16 = 22B16 =

* Таблица шестнадцатеричных чисел X10 X16 X2 X10 X16 X2 0 0 0000 8 8 1000 1 1 0001 9 9 1001 2 2 0010 10 A 1010 3 3 0011 11 B 1011 4 4 0100 12 C 1100 5 5 0101 13 D 1101 6 6 0110 14 E 1110 7 7 0111 15 F 1111

* Перевод в двоичную систему 16 10 2 трудоемко 2 действия 16 = 24 7F1A16 = 7 F 1 A 0111 { { 1111 0001 10102 { {

* Примеры: C73B16 = 2FE116 =

* Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 1110 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 1110 11112 1 2 E F Ответ: 10010111011112 = 12EF16

* Примеры: 10101011010101102 = 1111001101111101012 = 1101101101011111102 =

* Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA16 = 11 1101 1110 10102 16 10 8 2 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 011 110 111 101 0102 3DEA16 = 367528

* Примеры: A3516 = 7658 =

* Арифметические операции сложение A 5 B16 + C 7 E16 1 6 D 916 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25=16+9 5+7+1=13=D16 10+12=22=16+6 1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1

* Пример: С В А16 + A 5 916

* Арифметические операции вычитание С 5 B16 – A 7 E16 заем 1 D D16 12 5 11 – 10 7 14 (11+16)–14=13=D16 (5 – 1)+16 – 7=13=D16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 13 1 13

* Пример: 1 В А16 – A 5 916

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2012 Тема 5. Другие системы счисления

* Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

* Троичная уравновешенная система + 1 гиря справа 0 гиря снята – 1 гиря слева Веса гирь: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг 1 1 1 13ур = Реализация: ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958) 50 промышленных образцов 40

* Конец фильма