PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Информатика / Полиморфное кодирование кубических структур, операции над кубантами, моноид, хаусдорфова метрика и совмещенные машинные операции в супервычислениях
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Полиморфное кодирование кубических структур, операции над кубантами, моноид, хаусдорфова метрика и совмещенные машинные операции в супервычислениях


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Полиморфное кодирование кубических структур, операции над кубантами, моноид, хаусдорфова метрика и совмещенные машинные операции в супервычислениях


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ Интеллектуальные информационны
Описание слайда:

Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ Интеллектуальные информационные технологии Полиморфное кодирование кубических структур, операции над кубантами, моноид, хаусдорфова метрика и совмещенные машинные операции в супервычислениях Научный руководитель -Г.Г.Рябов Исполнители:, В.А.Серов, В.А.Толстошеев, Г.Г.Кузьмин, А.С.Фингеров Проект поддержан грантом РФФИ 09-07-12135-офи_м

№ слайда 2 План изложения Общее введение. Введение. Роль кубических структур в математическ
Описание слайда:

План изложения Общее введение. Введение. Роль кубических структур в математических моделях. Часть 1. Определение кубантов. Операция умножения. Моноид. Часть 2. Метрика Хаусдорфа-Хэмминга на кубантах в In. Часть 3. Метрика Евклида-Хаусдорфа в Rnс. Часть 4.Элементы кубического синтеза. Часть 5.Элементы динамики на кубических структурах. Часть 6.Машинное представление данных и операций. Часть 7.Полиморфное кодирование и алгебраизация супервычислений. Часть 8. Инструментальная система на суперкомпьютере. Литература. Приложение 1.Непересекающиеся к-пути. Приложение 2. Примеры графического представления. Приложение 3. 3-пути через случайную окрестность.

№ слайда 3 Общее введение Интеллектуальные информационные технологии подразумевают не тольк
Описание слайда:

Общее введение Интеллектуальные информационные технологии подразумевают не только работы по компьютерной интерпретации механизмов мозга человека, но и использование лингвистических( в т.ч. и математических) методов для более адекватного представления (кодирования в машинные формы) и дальнейших конструктивных компьютерных действий над элементами ( и структурами из них) самой общей природы с целью их более глубокого познания. Возможность сочетания в единой форме машинного представления различных (даже разнородных) свойств элементов некоторого множества и единообразных операций над такими представлениями открывает дорогу для установления новых закономерностей и как результат этого способствует решению прикладных проблем. Такой подход в праве характеризовать как одну из ветвей интеллектуальных информационных технологий. Представления многомерных метрических и топологических пространств, являются основой для различных моделей их структуризации и эффективного отображения этих моделей в существующие или принципиально реализуемые компьютерные системы.

№ слайда 4 В самом общем виде основа содержательной части - конкретный пример построения ко
Описание слайда:

В самом общем виде основа содержательной части - конкретный пример построения конструктивного мира кубических структур на основе нетрадиционного кодирования, обладающего полиморфными свойствами. Это кодирование позволяет ввести операции, совмещающие вычисление величин, характеризующих метрические, топологические, комбинаторные и алгебраические свойства элементов и структур из этого конструктивного мира. Основные операции сводятся к поразрядным операциям, которые обладают максимальной совмещенностью – потенциальной реализацией выполнения за один машинный такт обработки практически неограниченных по числу n разрядов слов, где n-размерность рассматриваемого пространства. Эти операции эмулированы на современных компьютерах и могут быть эффективно аппаратно реализованы в компьютерах следующих поколений. Постановка задач анализа и синтеза объектов из этого конструктивного мира и алгоритмы решения этих задач опираются на предложенные представления и введенные операции.

№ слайда 5 В рамках предыдущих тезисов и следует рассматривать ниже изложенное содержание р
Описание слайда:

В рамках предыдущих тезисов и следует рассматривать ниже изложенное содержание результатов под общим названием «Алгебраическое представление кубических структур и супервычисления», которое является составной частью проекта, поддержанного грантом РФФИ (09-07-12135-офи-м). С другой стороны эта тематика является дальнейшим развитием инструментальной системы под общим названием «Топологический процессор», развиваемой в НИВЦ МГУ с 2005 года с целью более полного математического и программного обеспечения суперкомпьютерных систем ( в частности суперкомпьютера МГУ «Чебышев») при решении комбинаторных геометрико-топологических задач. Образовательная сторона исследований направлена на выработку наиболее компактных и доходчивых представлений многомерных структур (чаще всего в виде группоидов) и действий на них, интерпретированных традиционными и нетрадиционными машинными операциями, широко используя совмещение и параллелизм.С целью подготовки специалистов такого профиля создан и продолжает расширяться спецкурс для студентов факультета ВМ и К МГУ «Введение в компьютерные методы комбинаторно-топологических построений».

№ слайда 6 Роль кубических структур в геометрико-топологической основе математических модел
Описание слайда:

Роль кубических структур в геометрико-топологической основе математических моделей Глобальная модель циркуляции (МТИ)-погодный и климатический прогноз. Конформная кубоидная сфера. Геометрическая основа науки о двоичном кодировании -n-мерный единичный куб. (R.Hamming)[8]

№ слайда 7 Изометрические вложения в кубические структуры Эффективное отображение на кубиче
Описание слайда:

Изометрические вложения в кубические структуры Эффективное отображение на кубические структуры. Вложения плоских мозаик в реберный остов Zn. Работы- Деза, Долбилина, Штанько, Штогрина.[2,3,4]

№ слайда 8 Комбинаторные многогранники, кольцо граней Стенли-Райснера Для простого многогра
Описание слайда:

Комбинаторные многогранники, кольцо граней Стенли-Райснера Для простого многогранника Р c гранями F1,…Fm и коммутативного кольца К с единицей кольцо граней Стенли-Райснера- факторкольцо К(Р)=К[v1,…vm]/ p, где р-идеал, порожденный мономами vi1,vi2,…vis, что Fi1 … Fis=Ø в Р, i1<…<is. Для P=I3: К[P]=K[v1,…v6]/(v1v4,v2v5,v3v6); Комбинаторные многогранники и уравнения мат. физики. (В.М.Бухштабер) [ 5 ] n-куб-комбинаторный многогранник

№ слайда 9 Триангуляции на кубических структурах и их динамика 6 типов примитивной триангул
Описание слайда:

Триангуляции на кубических структурах и их динамика 6 типов примитивной триангуляции I3. Марковские цепи в реберной динамике примитивных триангуляций в R3 и R4. Эргодические свойства. Распределение допустимых триангуляций в статистике Бозе- Эйнштейна. [18 ]

№ слайда 10 Возрастание роли в супервычислениях топологии+многомерности+ комбинаторики +дина
Описание слайда:

Возрастание роли в супервычислениях топологии+многомерности+ комбинаторики +динамики Эффективные методы представления семейств объектов для классификации, нумерации и комбинаторных схем перечисления. Учет наиболее общих свойств и инвариантов для многомерных построений (симметрия и группы движений, случайные процессы и эргодические свойства). Кубические структуры - достаточно универсальны для всестороннего компьютерного анализа и создания на этой базе компьютерных методов синтеза. [1-7]

№ слайда 11 Принятые обозначения Rn-n-мерное евклидово пространство. e1,e2,…en -ортонормиров
Описание слайда:

Принятые обозначения Rn-n-мерное евклидово пространство. e1,e2,…en -ортонормированный базис. Zn-подпространство целых точек в Rn. In-n-мерный единичный куб F(k)-k-мерная грань в In (0-грани-вершины,1-грани-ребра, 2-грани-квадраты и т.д.) Fn-множество всех граней In.(k=0,1,…n). {0,1,2}-троичный алфавит. Dn3- множество всех троичных кодов. {Ø,0,1,2}-четверичный алфавит. Dn4 – множество всех четверичных кодов. Sn- симметрическая группа подстановок.

№ слайда 12 Часть 1.Пирамида Паскаля и биекция Fn Dn3 Пирамида Паскаля- 3d аналог треугольни
Описание слайда:

Часть 1.Пирамида Паскаля и биекция Fn Dn3 Пирамида Паскаля- 3d аналог треугольника Паскаля. Рекурсивная процедура вычисления триномиальных коэфициентов. Число в вершине-число крачайших путей в трехмерной решетке из (000) в данную вершину. Кодировка путевых перемещений :0-перемещение по х,1-по y, 2-по z. fk=Cnk2n-k; [19]

№ слайда 13 Биекция:мн-во всех n-разрядных троичных кодов мн-во всех граней n-куба. Е=e1,e2,
Описание слайда:

Биекция:мн-во всех n-разрядных троичных кодов мн-во всех граней n-куба. Е=e1,e2,…en; Rn; D=d1,d2,…dn; di {0,1,2}; F(k,p)=Пei + Tej; i:di=2;(k) j:dj=0,1;(n-k) Так 021221 – е2 х е4 х е5 (трехмерная грань), транслированная в вершину 001001 в шестимерном кубе I6. Кубант (кубический квант) – n-разрядный троичный код, однозначно определяющий размерность и положение грани в n-мерном единичном кубе In. [21]

№ слайда 14 Троичное кодирование граней I3. Вершины (0-грани): 001,010,… 111; Ребра (1-грани
Описание слайда:

Троичное кодирование граней I3. Вершины (0-грани): 001,010,… 111; Ребра (1-грани): 002,012,…211; Грани (2-грани): 022,122,…221; Весь I3 : 222;

№ слайда 15 Виды графических интерпретаций для многомерных случаев Общие целевые функции гра
Описание слайда:

Виды графических интерпретаций для многомерных случаев Общие целевые функции графики- наглядность для плоских проекций, отражение фундаментальных свойств-симметрии. Пример-кубант 112220.

№ слайда 16 Бинарная операция умножения D1=d11,d12,…d1n; D2=d21,d22,…d2n; Поразрядная операц
Описание слайда:

Бинарная операция умножения D1=d11,d12,…d1n; D2=d21,d22,…d2n; Поразрядная операция умножения задается следующей таблицей В префиксной записи: П(022121,121012)= Ø21Ø11;(псевдокубант) П(022121,220112)= 020111;(кубант).

№ слайда 17 Расширение алфавита и доопределение операции умножения. Расширенный алфавит {Ø,0
Описание слайда:

Расширение алфавита и доопределение операции умножения. Расширенный алфавит {Ø,0,1,2}. Операция умножения (поразрядная) на расширенном алфавите задается следующей таблицей По определению операция –коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.

№ слайда 18 Свойства произведения кубантов. (D)-число разрядов с символом Ø. (П(D1,D2)=0 П(D
Описание слайда:

Свойства произведения кубантов. (D)-число разрядов с символом Ø. (П(D1,D2)=0 П(D1,D2) = D3-кубант-пересечение. (П(D1,D2) 0 = Lmin(D1,D2); П(121012,022121)=Ø21Ø11; П(220112,022121)=020111;

№ слайда 19 Доказательство свойства ω(П(D1,D2))=Lmin (D1,D2). Пусть В1 и В2 два различных n-
Описание слайда:

Доказательство свойства ω(П(D1,D2))=Lmin (D1,D2). Пусть В1 и В2 два различных n-разрядных двоичных слова (алфавит {0;1}), число попарно несовпадающих разрядов m. Тогда длина минимального пути по ребрам In между вершинами с координатами В1 и В2 равна m.(Хэммингово расстояние). Заменим в словах В1 и В2 один из совпадающих попарно n-m разрядов на противоположный. Тогда (В1*,В2*)=m. Заменим этот разряд в В1* и В2* на 2. Образовались 2 кубанта D1 и D2 (соответствующие ребрам),такие что В1,В1* D1 , В2,В2* D2 и ω(П(B1,B2))= (П(В1*,В2*))=Lmin(B1,B2)=m; С одной стороны Lmin (D1,D2) должно быть ≤ m, т.к. к числу точек каждого множества добавились новые. Но поскольку добавились только внутренние точки ребер, то минимальный путь до таких точек по ребрам н-куба будет m+ m. Из этого противоречия следует (П(D1,D2))=m=Lmin(D1,D2). И так для любого числа совпадающих попарно разрядов В1 и В2, а следовательно и для любой пары кубантов, т.к. любой кубант можно образовать из двоичного слова заменой ряда разрядов на 2.

№ слайда 20 Dn4-моноид относительно умножения. Все n-разрядные четверичные слова с алфавитом
Описание слайда:

Dn4-моноид относительно умножения. Все n-разрядные четверичные слова с алфавитом {Ø,0,1,2} - (кубанты и псевдокубанты) образуют полугруппу относительно введенного умножения. Умножение обладает свойством идемпотентности П(D,D)=D; (Маслов [15]) Единица в этой полугруппе – слово 22…2 (соответствует In). Т.о. Dn4-моноид.

№ слайда 21 Подмножество кубантов матрица парных произведений (смежностей) D1,D2,…Ds M ; mij
Описание слайда:

Подмножество кубантов матрица парных произведений (смежностей) D1,D2,…Ds M ; mij=П(Di,Dj); i,j=1,2…n; D1=112202; D2=121122; D3=122211; D4=120122; D5=002212; 112202 111102 1112Ø1 110102 ØØ22Ø2 121122 121111 12Ø122 Ø01112 122211 120111 Ø02211 M = 120122 Ø00112 симметрия 002212 D1,D2,D3,D4-образуют цикл (общие ребра);D5 отстоит на Lmin=1 от D2,D3,D4 и на Lmin=3 от D1; Mpp-обобщение матрицы смежностей для графов.

№ слайда 22 Часть 2.Хаусдорфова метрика на кубантах. Обобщение метрики Хэмминга. HH(D1,D2)=
Описание слайда:

Часть 2.Хаусдорфова метрика на кубантах. Обобщение метрики Хэмминга. HH(D1,D2)= max {maxLmin (D1 D2), maxLmin(D2 D1)}; D1=022211; D2=112222; Lmin(D1 D2) 112222 002211 П=ØØ2211 max Lmin(D1 D2)=2; Lmin(D2 D1) 022211 112200 П=Ø122ØØ max Lmin(D1 D2)=3; HH(D1,D2)=max{2,3}=3;

№ слайда 23 Хаусдорфова метрика на кубантах. Операция Н-сжатия. Н-сжатие Di относитльно Dj (
Описание слайда:

Хаусдорфова метрика на кубантах. Операция Н-сжатия. Н-сжатие Di относитльно Dj (Di*/Dj) - для вычисления самого длинного из кратчайших путей от Di до Dj Max{ П(Di*/Dj,Dj), П(Dj*/Di,Di} = HH(Di,Dj);

№ слайда 24 Полная матрица НН-метрики для кубантов I3. Размерно-лексикографическое упорядоче
Описание слайда:

Полная матрица НН-метрики для кубантов I3. Размерно-лексикографическое упорядочение троичных кодов: 000,001,010,011, … 111, 002,012,020,021, … 211, 022,122,202,212, … 221, 222; Черный- НН=3, Тем.серый- НН=2, Свет.серый- НН=1, Белый- НН=0.

№ слайда 25 Структура НН-метрики для In. Н(k,m)-минор матрицы парных НН-расстояний, содержит
Описание слайда:

Структура НН-метрики для In. Н(k,m)-минор матрицы парных НН-расстояний, содержит все расстояния между k- и m-размерными кубантами. r =[r1,r2]-диапазон значений НН-расстояний.r1,r2-целые;r1 r2.

№ слайда 26 Распределение НН-расстояний между кубантами для I2-I10. Таблица M(r,n)-число пар
Описание слайда:

Распределение НН-расстояний между кубантами для I2-I10. Таблица M(r,n)-число пар кубантов в In с rHH=r; M(0,n)=3n; M(n,n)=4n-2n-1; Гистограмма по вертикали- в логарифм. масштабе. Горизонталь-почти симметрия.

№ слайда 27 Расширение матрицы парных произведений кубантов. Дополнение злементов матрицы па
Описание слайда:

Расширение матрицы парных произведений кубантов. Дополнение злементов матрицы парных произведений значениями HH-расстояний (/ нн) между кубантами. В расширенном виде матрица содержит полную топологическую и HН-метрическую картину множества кубантов ( в т.ч. HН-диаметр множества, исходные данные для построения HН-кратчайшего связывающего дерева и т.д.) Ранее приведенный пример M с расширением приведен ниже.

№ слайда 28 Часть 3.Подмножества кубантов в In. Булеан n-кубантов-множество всех двоичных m-
Описание слайда:

Часть 3.Подмножества кубантов в In. Булеан n-кубантов-множество всех двоичных m-разрядных кодов при m=3n; Каждому кубанту соответствует номер в размерно- лексикографически упорядоченной последовательности троичных n-разрядных кодов, этот номер равен номеру разряда в булеане, если данный кубант входит в рассматриваемое подмножество. Каждое подмножество кубантов двоичное слово в булеане. 000,001,010,…022,122,220,221,222. 1 2 3 23 24 25 26 27 002,122 000100000000000000000000100; 001,022 000100000000000000000000000;-поглощение кубанта 001 кубантом 022. После поглощений число различных подмножеств < 2m;m=3n; Для n=2; m=9;|B|=512; |B*|=47; число всех пар подмножеств: 2209<262144

№ слайда 29 Особенности хаусдорфовой метрики на подмножествах кубантов. Необходимость перехо
Описание слайда:

Особенности хаусдорфовой метрики на подмножествах кубантов. Необходимость перехода к евклидовой метрике. Добавление к вершинам (целым точкам) «полуцелых» точек для каждой грани (кубанта). 2 1 0 1/2 1 0;

№ слайда 30 Соотношения между НН и ЕН в In. Кубанты:D1=220000; D2=112200;D3=111122; D4=00002
Описание слайда:

Соотношения между НН и ЕН в In. Кубанты:D1=220000; D2=112200;D3=111122; D4=000022;D5=002211; D6=221111;D7=022120; HH(Di,D7)=3; EH(Di,D7)=√3; i=1-6; Подмножества: K1={D1,D2,…D6}; K2={D7}; EH(K1,K2)= √7/2; Мах равноудаленная точка имеет нецелочисленные координаты, т.е. нецелая.

№ слайда 31 Вычисление равноудаленных точек в комплексах из кубантов разной размерности . Ма
Описание слайда:

Вычисление равноудаленных точек в комплексах из кубантов разной размерности . Мах равноудаленная точка – в множестве пересечений прямых, ортогональных к кубантам другого комплекса в общей для комплексов выпуклой оболочке. Точка и инцидентное ребро считаются ортогональными. Для I2 –построение отрезков прямых и окружностей с доп.условиями (см. пример). К1={22};K2={12;00;01}; Окружность касается ребра CD(кубант 12) и проходит через точки А(кубант 00) и В(кубант 01) Из приведенного построения ЕН(К1,К2)=5/8; Для I3 окружности заменяются сферами.

№ слайда 32 К вычислению полной матрицы ЕН всех пар комплексов In Среди множества всех подмн
Описание слайда:

К вычислению полной матрицы ЕН всех пар комплексов In Среди множества всех подмножеств кубантов возможны «поглощения»: так код в булеане (для I3) 00…100000001 00…100000000,т.к. кубант 002 содержит вершину 000. Возможность сокращения общего числа (2^3n ) комплексов за счет «поглощения» кубантов меньшей размерности не приводит к принципиальному результату. Так для I3 общее число комплексов 2^27(точнее 2^26+1) за счет поглощения сводится к ~2^25. Оценка возможности полных вычислений для I3 2^52~4 10^15. Задача для суперкомпьютера.

№ слайда 33 Два метода вычисления ЕН для двух множеств целых точек в R3c. Волновой алгоритм
Описание слайда:

Два метода вычисления ЕН для двух множеств целых точек в R3c. Волновой алгоритм на {Z3,V3},где V3-множество простых (примитивных) ребер, не содержащих внутренних целых точек.(Отображения целочисленных множеств и евклидовы приближения. 2007). Учет невыпуклости пространства, приближение к Е-метрике (длина ломаной на простых ребрах)- приближенное значение хаусдорфова расстояния. Алгебраический метод на основе свойств моноида. Точная Е-метрика, пространство-выпуклое.(2009).

№ слайда 34 Сравнение двух методов для мн-ств Zn. Волна от мн-ва 1 до последней (по шагам) т
Описание слайда:

Сравнение двух методов для мн-ств Zn. Волна от мн-ва 1 до последней (по шагам) точки мн-ва 2 –р(2,1)=max min (2 1), от мн-ва 2 до п.т. мн-ва 1- р(1,2)=max min(1 2), рЕН(1,2)=mах{p(2,1);p(1,2)}. В примере с волной (окр.=2) рЕН~7,3006;(окр.=3)~7,2110; точ. pEH(1,2)=2 13~7,2110;

№ слайда 35 Часть 4.О подходе к задачам синтеза на кубантах Формирование в Rnc (c множеством
Описание слайда:

Часть 4.О подходе к задачам синтеза на кубантах Формирование в Rnc (c множеством вершин в Zn) конечного множества S комплексов кубантов K1,K2,…Km с заданными топологическими и метрическими условиями, а также на мощности множества S и комплексов кубантов. Формирование - представление, вычисление, преобразование, верификация.

№ слайда 36 О расширении некоторых понятий. Выпуклая оболочка комплекса внутри In-кубант мин
Описание слайда:

О расширении некоторых понятий. Выпуклая оболочка комплекса внутри In-кубант минимальной размерности,в который вложим комплекс. (рис.1.Выпуклая оболочка комплекса {000000,011111}=I5) Связность-расширение понятия связности кубантов(k-связность)-общность граней не меньшей размерности чем k.(рис.2.2-связность) Путь-расширение понятия пути.Путь по ребрам-1-путь, путь по двумерным граням-2-путь и т.д. Минимальные k-пути. (рис.2.)- 3-путь

№ слайда 37 Примеры k-связности и k-пути. 2-связность комплекса кубантов. 3-путь минимальной
Описание слайда:

Примеры k-связности и k-пути. 2-связность комплекса кубантов. 3-путь минимальной длины из А в В внутри комплекса . Длина пути -16.

№ слайда 38 Гамильтоновы циклы(HC(n)) на In как циклы 1-кубантов. Представления гамильтонова
Описание слайда:

Гамильтоновы циклы(HC(n)) на In как циклы 1-кубантов. Представления гамильтонова цикла: Вершинное Реберное 000 001 002 011 021 010 012 110 210 111 112 101 121 100 102 000 200 002

№ слайда 39 Рекурсивная процедура генерации НС(n) HC(n+1). Склейка двух НС(n) HC(n+1); Склей
Описание слайда:

Рекурсивная процедура генерации НС(n) HC(n+1). Склейка двух НС(n) HC(n+1); Склейка попарно двух ортогональных два ортогональных в следующей размерности. При n>3 In cодержит по крайней мере два орт. НС. Гипотеза: I2n (n>1) содержит n орт.НС

№ слайда 40 Циклические пути с неповторяющимися кубантами. Обобщение гамильтонова цикла-цикл
Описание слайда:

Циклические пути с неповторяющимися кубантами. Обобщение гамильтонова цикла-цикл по всем k-кубантам на k+1-кубантах. Динамическая интерпретация пути- «шаги землемера» в смежную грань. В «распоре»-ребро,квадрат, куб и т.д.(кубанты).

№ слайда 41 Пример топологического «строительства» Кубическая бутылка Клейна из панелей-комп
Описание слайда:

Пример топологического «строительства» Кубическая бутылка Клейна из панелей-комплексов гиперграней. Нумерация всех комплексов гиперграней и правил их сборки. Отображение в памяти компьютера.

№ слайда 42 Комплексы из гиперграней I3 10 типов не гомеоморфных комплексов из гиперграней.
Описание слайда:

Комплексы из гиперграней I3 10 типов не гомеоморфных комплексов из гиперграней. 64 типа различных по положению в I3 (различны коды кубантов).

№ слайда 43 Комплексы в I4
Описание слайда:

Комплексы в I4

№ слайда 44 Вычисление (построение) комплекса гиперграней в In Исходные данные: размер,струк
Описание слайда:

Вычисление (построение) комплекса гиперграней в In Исходные данные: размер,структура, метрика. Выходные : Комплекс(ы) кубантов или пустое мн-во. Алгоритм вычисления с помощью таблицы возможностей. Пример из I4: размер-4, цикл, число минимальных путей, отличных от 0 равно 2 {0222;2202;1222;2212;}

№ слайда 45 Часть 5.Элементы динамики в кубических структурах Огромное число вариантов измен
Описание слайда:

Часть 5.Элементы динамики в кубических структурах Огромное число вариантов изменения структуры кубических комплексов(с сохранением k-связности между всеми подкомплексами или без, с сохранением общего числа кубантов или без и т.д.). Аналоги гомотопных преобразований. Изотропность и анизотропность преобразований.( Минск2007 ) Случайные преобразования-появление и исчезновение k-граней(кубантов) в n-мерных кубических комплексах.(Динамическая маркировка).

№ слайда 46 Маркировка кубантов Маркировки целыми числами соответствуют конечным множествам
Описание слайда:

Маркировка кубантов Маркировки целыми числами соответствуют конечным множествам определенных качеств в т.ч. наличию или отсутствию кубанта в комплексе в рассматриваемый момент, определенной раскраске в конечное число цветов, отражающих определенные свойства в зависимости от конечного множества состояний некоторого параллельного процесса или некоторых процессов. Маркировки вещественными числами отражают непосредственно численные результаты расчетов, связанных с рассматриваемой структурой и приписываемых данному элементу структуры (кубанту).

№ слайда 47 Пример маркировки. Случайный процесс в дискретном времени бросания множества цел
Описание слайда:

Пример маркировки. Случайный процесс в дискретном времени бросания множества целых точек, образования в каждый момент на этом множестве выпуклых оболочек (операция над кубантами) и развития общей перколяционной ситуации. Маркировки каждого 2-кубанта-момент рождения (1,2,… Z+), длина ребер дерева Штейнера (L R+) для локального связного множества.

№ слайда 48 Кодирование n-октантов, как расширение понятия кубанта Семиричный алфавит {Ø,Ø*,
Описание слайда:

Кодирование n-октантов, как расширение понятия кубанта Семиричный алфавит {Ø,Ø*,0,1,-1,2,-2} и множество n-октантов с одной общей целой точкой.(«-» вынесен как надстрочный символ). Табличное задание бинарной операции умножения кубантов в Оn. Коммутативна, но не ассоциативна. Моноид на семиричном алфавите сохранение метрических и топологических свойств представления кубантов.

№ слайда 49 Октантная окрестность On целой точки и комплекс кубантов на ней Все n-октанты, и
Описание слайда:

Октантная окрестность On целой точки и комплекс кубантов на ней Все n-октанты, имеющие общую вершину (целую точку) образуют n-октантную окрестность этой точки. Любой комплекс октантов на окрестности – по к.м. 0-связный. Комплекс (рис)-1-связный. 22*1*,202*,02*2,2*02,2*2*0,2*02,022, 202,212 (2-2-1=22*1*) Последовательный обход через 3-октанты(22*2*,222*,2*22*,2*2*2*,2*2*2, 2*22,22*2,222)-3-путь в «разрешенном комплексом коридоре».

№ слайда 50 Матрица парных произведений кубантов в On Множество кубантов в O4: {21*22;122*2*
Описание слайда:

Матрица парных произведений кубантов в On Множество кубантов в O4: {21*22;122*2*;2*212; 1*2*2*2*}; и матрица парных произведений (принятые обозначения -1=1*;-2=2*): 21*22 122*2* 2*212 1*2*2*2* 21*22 1Ø00 0 Ø12 Ø 1*0 0 122*2* Ø2Ø0 Ø*0 2*2* 2*212 1* 0 Ø 0 1*2*2*2* Минимальные пути: Ø 1;Ø* 2; Множество-несвязное.

№ слайда 51 3-пути в октантных коридорах Полупрозрачные 2-грани открыты для прохода. Вариант
Описание слайда:

3-пути в октантных коридорах Полупрозрачные 2-грани открыты для прохода. Вариант древовидной структуры возможных 3-путей(3d). Изменения в октантных окрестностях в дискретном времени. (3d+1)

№ слайда 52 Один из вариантов топологической интерпретации алгебры Фробениуса октантными стр
Описание слайда:

Один из вариантов топологической интерпретации алгебры Фробениуса октантными структурами Методы алгебраической топологии в теоретической физике – наиболее активная область исследований. [9,13-15] Топологическое представление алгебры Фробениуса (АФ) наиболее полно дано А.Лаудой.[10] Общепринятые операторы АФ и октантные структуры. (рис)

№ слайда 53 Кодирование операторов через октантные структуры Оператор комплекс кубантов в Оn
Описание слайда:

Кодирование операторов через октантные структуры Оператор комплекс кубантов в Оn(х1,…хn); Ситуация на стыках вычисляется как произведение. Рис. пример кодирования в О3.

№ слайда 54 Марковские процессы-перестройки кубантов и состояния Оn В R3 общее число состоян
Описание слайда:

Марковские процессы-перестройки кубантов и состояния Оn В R3 общее число состояний О3 равно 236 , где 36-число 2-граней в О3. Появление и исчезновение 2-грани – детерминированное или(и) случайное событие. Зависимость структуры ( радиус связности, род границы и др.) «большого» комплекса от процесса перестроек. Эргодичность процесса обобщенная картина динамики.

№ слайда 55 4d схема топологических коридоров в дискретном времени. Ось дискретного времени.
Описание слайда:

4d схема топологических коридоров в дискретном времени. Ось дискретного времени. Два различных 3-пути (коридора) за 4 дискретных момента времени. Условия допустимости (открытости соответствующих граней) для коридора не отображены.

№ слайда 56 Генерация комплексов в Rnc. Склейка (join) комплексов из On(x,y,z). Самоподобие
Описание слайда:

Генерация комплексов в Rnc. Склейка (join) комплексов из On(x,y,z). Самоподобие и появление новых свойств пространства. Пример R3c формирование самоподобной картины со свойством перколяции. Расчеты результирующей топологической картины и определение общих свойств связности операции над кубантами в октантах.

№ слайда 57 Часть 6. Общие положения машинного представления и структуры данных Разработать
Описание слайда:

Часть 6. Общие положения машинного представления и структуры данных Разработать и эффективно реализовать на суперкомпьютерах массивно-параллельной архитектуры (наиболее доступных отечественному пользователю) инструментальную систему обработки кубических структур на базе предложенной алгебры кубантов и октантов. В понятие эффективности здесь входят следующие составлящие – размерность пространства и число гиперкубических комплексов, сокращение времени решения задач за счет совмещения действий в одной операции и максимального распараллеливания обработки между многими процессорами суперкомпьютера.

№ слайда 58 Машинное представление кубантов Машинное представление четверичного алфавита: Ø
Описание слайда:

Машинное представление кубантов Машинное представление четверичного алфавита: Ø 0;0 1;1 2;2 3 При двоичном представлении этого алфавита операция умножения кубантов совпадает с поразрядной(битовой) операцией логического умножения 2n-разрядных двоичных слов.

№ слайда 59 Машинное представление кубантов в On Машинное представление семиричного алфавита
Описание слайда:

Машинное представление кубантов в On Машинное представление семиричного алфавита: Ø 0;Ø* 1;0 2; 1 3;2 4; -1 5; -2 6;

№ слайда 60 Основные структуры данных. Текстовый вид входных и выходных данных: {[ ] ( )( )…
Описание слайда:

Основные структуры данных. Текстовый вид входных и выходных данных: {[ ] ( )( )…( )[ ]( )( )…}…{…} { }-комплекс из n-кубов; [ ]-координаты n-куба в составе комплекса; ( )-кубант в составе n-куба;Алфавит {Z,0,1,2} Основные структуры данных- набор классов. Класс «Куб» (координаты и набор кубантов) –реализация одномерный массив. Класс «Комплекс»(кубы в комплексе)-одномерный массив Реализация средствами библиотеки STL C++; Для кластерной реализации-представление кубанта как самостоятельного элемента: [идентификатор комплекса] [координаты n-куба] [кубант].

№ слайда 61 Основные функции Уровень кубантов (для двух кубантов): умножение и Н-сжатие. Уро
Описание слайда:

Основные функции Уровень кубантов (для двух кубантов): умножение и Н-сжатие. Уровень комплекса кубантов в n-кубе: вычисление матрицы парных произведений кубантов и следствий из нее-топологическая и НН-метрическая структура комплекса. Уровень комплекса из n-кубов: вычисление ЕН-расстояний между комплексами в Rn. Геометрические операции с n-мерными векторами-библиотеки Intel MKL,BLAS.

№ слайда 62 Часть 7. Полиморфное кодирование и алгебраизация супервычислений. Супервычислени
Описание слайда:

Часть 7. Полиморфное кодирование и алгебраизация супервычислений. Супервычисления – это не только рациональные методы использования предельной по своей производительности аппаратуры и системного программного обеспечения суперкомпьютеров, но и лингвистическое (в том числе и математическое) представление данных и операций над этими данными, позволяющие создать алгоритмы нового уровня параллелизма и совмещения операций. Ниже рассматриваются аспекты предложенных методов с точки зрения их возможного влияния на архитектурные решения суперкомпьютеров и дальнейшего развития направления условно называемого «полиморфное кодирование и алгебраизация супервычислений».

№ слайда 63 Некоторые обобщения Кубант обладает полиморфными свойствами: Четверичное n-разря
Описание слайда:

Некоторые обобщения Кубант обладает полиморфными свойствами: Четверичное n-разрядное слово. Представляет геометрический объект (n-мерный куб и его грани). Допускает рассмотрение как точка гиперметрического пространства с Хаусдорфовой метрикой (обобщение метрики Хэмминга для двоичных кодов). Представляет элемент топологических комплексов. Вместе с расширением (псевдокубанты) образует алгебраическую структуру (полугруппу с единицей-моноид) относительно введенной операции умножения. Разряды слова с символом 2 можно рассматривать как обощение q-битов (значения 0 и 1 и все действительные числа отрезка 0,1) и в целом кодирование как полуквантовое.[12] В машинном представлении кубант 2n-разрядное двоичное число, к которому применим весь арсенал машинных операций. В целом эффективная масштабируемость ( в размерности n пространства).

№ слайда 64 Вычислительные особенности Выполнение основной операции (умножения) сводится к п
Описание слайда:

Вычислительные особенности Выполнение основной операции (умножения) сводится к поразрядной операции логического умножения над 2n-разрядных двоичных кодов практически неограниченной длины-поразрядное перемножение стрингов потенциально может быть реализовано за один машинный такт. Совмещенное вычисление данных о связности и длине кратчайшего пути между кубантами. Вычисление матрицы парных произведений (обобщение матрицы смежностей) для комплекса из m кубантов имеет сложность m2. Вычисление Хаусдорфова расстояния между n-мерными кубантами вместо задачи экспоненциальной сложности 2n сводится к задаче сложности n.

№ слайда 65 Вычислительные особенности для суперкомпьютеров кластерного типа Линейный характ
Описание слайда:

Вычислительные особенности для суперкомпьютеров кластерного типа Линейный характер увеличения длины слова кубанта от размерности пространства n и поразрядные операции над кубантами позволяют задать вопрос об оценке предельных возможностей современных кластерных суперкомпьютеров в задачах подобного класса и на ближайшую перспективу при условии сохранения общих тенденций развития их архитектур. В качестве самого упрощенного (начального) подхода рассмотрим первый этап в задаче анализа структуры M комплексов (каждый по m кубантов) в n-мерном пространстве – вычисление матриц парных произведений.

№ слайда 66 Для оценок общих ресурсов по оперативной памяти и производительности необходимо
Описание слайда:

Для оценок общих ресурсов по оперативной памяти и производительности необходимо учесть, что каждый кубант сопровождает значительный объем данных во много раз превосходящий представление его геометрико-топологической структуры. Обработка этих данных на данном этапе не рассматривается, но в оценке объема оперативной памяти они участвуют. Будем считать, что их объем 2nv, где n- размерность пространства, а v-некоторая постоянная. Тогда грубая оценка оперативной памяти для хранения исходных данных в байтах Mm(2n/8)2nv (при v=100 байт V0=100Mm(n/4)2n ;а выходных данных (матриц) V1=Mm2(n/4); Оценка общего числа операций для одноразового вычисления всех M матриц парных произведений для комплексов из m кубантов Q= Mm2(n/4).При n=10; M=10^3;m=10^3; Q~10^10;(в настоящее время производительность нескольких процессоров) Sv0~10^5 10^3 10^3=10^11 <1Терабайт (в настоящее время память 500 микропроцессоров). При n=20 и тех же M,m :Q~10^11; SV0~1 Петабайт (память 0,5 миллиона современных микропроцессоров). Т.о. следует ожидать, что проблемы оперативной памяти в этой области будут возрастать быстрее чем суммарного быстродействия. Если рассматривать только данные по структуре(SV1), то возможна обработка до n=100;M=10^3;m=10^4. Тогда Q~10^15-10^16; SV1~0,1Петабайт – диапазон петафлопсной системы.

№ слайда 67 Часть 8. Инструментальный комплекс «Топологический процессор» Основная цель - ра
Описание слайда:

Часть 8. Инструментальный комплекс «Топологический процессор» Основная цель - разработать математическое и программное обеспечение для инструментальной системы, реализующей операции анализа и синтеза на многомерных кубических структурах, максимально используя методы совмещения и распараллеливания вычислений на архитектурах современных и перспективных суперкомпьютеров. Работы ведутся в НИВЦ МГУ с 2005 года. Программное обеспечение на С++.Графика openGL,VRML. Начало реализации на системе «Чебышев». («Волна» на решетке 1010 )-2008г Основные публикации по теме за прошлые годы: Рябов Г.Г.Метрические и топологические волны на решетках.//Изд. НИВЦ МГУ.2005 -------- Алгоритмические основы топологического процессора.// Труды МСО-2005.МГУ. Рябов Г.Г.,Серов В.А. Отображения целочисленных множеств и евклидовы приближения.//Выч. методы и программирование.2007 Ryabov G.,Serov V. Simplicial-lattice model and metric-topological constructions.// Proc. IX PRIP-conference.Minsk.2007 Рябов Г.Г.,Серов В.А. Компьютерные комбинаторно-топологические построения и их преобразования.//Информационные технологии и выч. системы.РАН.2008

№ слайда 68 Схема работ по инструментальному комплексу «Топологический процессор».
Описание слайда:

Схема работ по инструментальному комплексу «Топологический процессор».

№ слайда 69 Текущие технические задачи Разработка набора макроопераций на основе алгебры куб
Описание слайда:

Текущие технические задачи Разработка набора макроопераций на основе алгебры кубантов для инструментальной системы «Топологический процессор», являющейся инструментом фундаментальных исследований в части построения примеров и контрпримеров с определенными свойствами. Программная реализация и верификация набора макроопераций «Алгебра кубантов» для суперкомпьютера МГУ «Чебышев». Полное документирование математического и программного обеспечения «Алгебры кубантов». Подготовка и выпуск методического пособия по «Алгебре кубантов».

№ слайда 70 Текущие теоретические задачи Разработка вариантов организации структуры оператив
Описание слайда:

Текущие теоретические задачи Разработка вариантов организации структуры оперативной памяти кластерного суперкомпьютера для эффективной реализации алгоритмов на базе алгебры кубантов. Исследования видов полиморфного кодирования для симплициальных структур и совмещенных кубико-симплициальных структур. Разработка эффективных (с точки зрения машинной реализации) октантных структур и операций над ними для кодовой интерпретации алгебр Фробениуса.

№ слайда 71 Литература. 1.Новиков С.П. Топология. Москва-Ижевск.РХД.2002. 2.Долбилин Н.П.,Шт
Описание слайда:

Литература. 1.Новиков С.П. Топология. Москва-Ижевск.РХД.2002. 2.Долбилин Н.П.,Штанько М.А.,Штогрин М.И. Кубические многообразия в решетках.// Изв.РАН.Сер. матем.1994.58.вып.2.93-107 3.Деза М.,Штогрин М. Вложение графов в гиперкубы и кубические решетки.// Успехи матем. наук.1997.52.№6.155-156. 4.Деза М.,Штогрин М. Мозаики и их изометрические вложения.// Изв. РАН.Сер. матем.2002.66.№3.3-22. 5.Бухштабер В.М. Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения.// Трды матем. Ин-та РАН.2008.263.18-43. 6.Кузнецов С.Д.,Кудрявцев Ю.А. Математическая модель OLAP-кубов. //Программирование.2009.№5 7.Pedersen T.B. Multidimensional databases.// Industrial Information Technology.Handbook. 2005. 8.Hamming R.W. Error detecting and error correcting codes.// Bell system Tech.Journal. 1950.29(2) 147-160 9.Baez J.,Lauda A. A Prehistory of n-categorical Physics.// arXiv: 0908.2469.v1 [hep-th] 18 Aug 2009. 10.Lauda A. Frobenius algebras and planar open string topological field theories.// arXiv: math(0508.349 v1) [math QA] 18 Aug 2005. 11.Stanley R. Combinatoric and Commutative Algebra.// Birkhauser.1996 12.Manin Yu.I. Classical computing, quantum computing and Shor’s factoring algorithm. // arXiv: quant-ph/9905008 v1. 2 March 1999.

№ слайда 72 13.Ambjorn J.,Jurkevicz J.,Loll R. The Universe from Scratch. // arXiv: hep-th/0
Описание слайда:

13.Ambjorn J.,Jurkevicz J.,Loll R. The Universe from Scratch. // arXiv: hep-th/0509010 v3. 14 Oct 2006. 14.Coecke B., Quantum picturalism.// arXiv:0908.1787v1[quant-ph] 13 Aug 2009. 15.Литвинов Г.Л.,Маслов В.П.,Шпиз Г.Б. Идемпотентный функциональный анализ. Алгебраический подход. Математ.заметки. 69:5(2001),758-797 16.Ryabov G.,Serov V., Simplicial-lattice model and metric-topological constructions.// Proc. of IX Conf. on Pattern Recognition and Inf. Processing. V2. Minsk.2007.135-140 17.Рябов Г.Г. О путевом кодировании k-граней в n-кубе. //Вычислительные методы и программирование. 2008.9.N1.20-22 18.------- Марковские процессы в динамике примитивной триангуляции в пространствах R3 и R4.//Вычислительные методы и программирование. 2009. 10.N1,5-12 19.------- О четверичном кодировании кубических структур.// Вычислительные методы и программирование. 2009.10.N2,154-161 20.------- Хаусдорфова метрика на гранях n-куба. //Фундаментальная и прикладная математика.2009.(в печати). 21.-------Алгебраическое представление кубических структур и супервычисления.//Сб.Программные системы и инструменты. ВМиК МГУ.2009.№10,12-26

№ слайда 73 Приложение 1.Генерация комплексов кубантов внутри In(On). 1.Общие условия(ОУ) на
Описание слайда:

Приложение 1.Генерация комплексов кубантов внутри In(On). 1.Общие условия(ОУ) на множество комплексов. 2.Условия внутри комплексов.(УВК) 3.Условия между комплексами.(УМК) 4.Диагностика совместимости условий.(ДСУ) Рассмотрение на примере построения(вычисления) максимального числа непересекающихся минимальных (по длине) k-путей из одной вершины в другую n-мерного куба с максимальным разнесением их друг от друга.

№ слайда 74 Неформальная постановка задачи Проложить максимальной число к-мерных непересекаю
Описание слайда:

Неформальная постановка задачи Проложить максимальной число к-мерных непересекающихся тоннелей минимальной длины между двумя заданными вершинами n-куба на максимальном расстоянии друг от друга.(Кроме пересечения этих путей в начальной и конечной вершинах).

№ слайда 75 Формальная постановка для I9. Общие условия: размерность n=9;заданы вершины D1=(
Описание слайда:

Формальная постановка для I9. Общие условия: размерность n=9;заданы вершины D1=(00…0) и D2=(11…1); определить три k-пути (три множества кубантов) K1{А1,A2…Am};K2{В1,B2,…Bm};K3{С1,C2,…Cm} размерности k=3 в I9 таких, что m-min и выполняются УВК: dimП(Аi,Ai+1)=2; dimП(Bi,Bi+1)=2; dimП(Ci,Ci+1)=2; для i=1 m-1; П(A1,D1)=D1;П(B1,D1)=D1;П(С1,D1)=D1; П(Am,D2)=D2; П(Bm,D2)=D2; П(Cm,D2)=D2; УМК:П(Ai,Bi)=Ø;П(Ai,Ci)=Ø;П(Bi,Ci)=Ø; i=1 m; HH(Ai,Bi)= HH(Ai,Ci)= HH(Bi,Ci)=max;i=1 m; Кратчайший путь по ребрам(1-путь) между D1 и D2 равен 9, по квадратным граням (2-путь) – 8, по кубическим граням (3-путь)-7. Отсюда m=7; Общий вид Ai и Ai+1 002121210 002121120 П=002121110 dim П=2;

№ слайда 76 К решению задачи Кубантный тензор-размер 9х7х3, где 9-размерность куба, 7-длина
Описание слайда:

К решению задачи Кубантный тензор-размер 9х7х3, где 9-размерность куба, 7-длина кратчайшего пути, 3-число путей. Простейший вид матрицы 9x7 (кубанты располагаются столбцом в лексикографическом порядке слов), выполняются УВК: K1 000000222 000002221 000022211 000222111 002221111 022211111 222111111

№ слайда 77 К решению задачи Куб как объект с осевой (00…0,11…1) симметрией организация по т
Описание слайда:

К решению задачи Куб как объект с осевой (00…0,11…1) симметрией организация по той же схеме матриц К2 и К3 приводит к : К1 К2 К3 000000222 000222000 222000000 000002221 002221000 221000002 000022211 022211000 211000022 000222111 222111000 111000222 002221111 221111002 111002221 022211111 211111022 111022211 222111111 111111222 111222111 Выполняются все условия поставленной задачи при любой одновременной перестановке столбцов в К1,К2,К3 (коммутативность умножения), кроме максимальной удаленности друг от друга.

№ слайда 78 Хаусдорфова метрика в рассматриваемой задаче. Операция Н-сжатия не коммутативна
Описание слайда:

Хаусдорфова метрика в рассматриваемой задаче. Операция Н-сжатия не коммутативна и перестановки столбцов в к-тензоре могут менять рНН между кубантами в путях. На рис.слева показаны значения НН для вышеприведенного решения. Они максимальны для 9! перестановок столбцов.

№ слайда 79 Приложение 2. О некоторых графических отображениях кубических структур Основные
Описание слайда:

Приложение 2. О некоторых графических отображениях кубических структур Основные цели графического отображения в рамках рассматриваемых методов: Визуальная ориентация пользователя в многомерных структурах. Для различных задач – различные методы. Выход в открытые графические системы (VRML) с полным набором их средств визуализации. Рис. традиционный метод отображения для I6 (c кластеризацией вершин по 8).

№ слайда 80 Реперно-ориентированные отображения Более привычное для глаза восприятие граней
Описание слайда:

Реперно-ориентированные отображения Более привычное для глаза восприятие граней в n-мерном кубе (меньший разброс в метрике ребер). Вариация репера вариация отображения. Рис. плоский репер и отображение вершин и ребер 9-мерного куба.

№ слайда 81 Кубанты и комплексы кубантов 3d-репер, цветовая идентификация, выход в VRML-опер
Описание слайда:

Кубанты и комплексы кубантов 3d-репер, цветовая идентификация, выход в VRML-оперативный инструментарий для отображения кубантов и комплексов из них. Рис.Отображения I6 и решения задачи о 3-путях (приложение 1).

№ слайда 82 Приложение 3. 3-пути сквозь случайную О3 . Постановка задачи. Задан октант, в не
Описание слайда:

Приложение 3. 3-пути сквозь случайную О3 . Постановка задачи. Задан октант, в нем 2-грани двух типов ( кодировка: 0-закрыты,1-открыты – рис.серый цвет). Вычислить кратчайший(ие) 3-пути между входами (-1,.,.) и выходами (1,.,.)-число и их длину, проходя через открытые 2-грани.

№ слайда 83 К постановке задачи. 36-и разрядный двоичный код отражает какие грани открыты (1
Описание слайда:

К постановке задачи. 36-и разрядный двоичный код отражает какие грани открыты (1) и закрыты (0) для 3-путей. На множестве всех возможных разбиений всех 2-граней О3 построить распределение кратчайших 3-путей по числу и длине. Для каждого кода вычислить топологический тип.

№ слайда 84 Допустимые кратчайшие 3-пути и их длины Для дальнейшего изучения марковских проц
Описание слайда:

Допустимые кратчайшие 3-пути и их длины Для дальнейшего изучения марковских процессов в динамике случайного поведения 2-граней необхдима матрица переходных вероятностей между допустимыми состояниями.(20х20)

№ слайда 85 Допустимые топологические типы Соотношение числа входов и выходов. Структуры кра
Описание слайда:

Допустимые топологические типы Соотношение числа входов и выходов. Структуры кратчайших связ. деревьев. Число изолированных деревьев. Характеристика каждого дерева. Дальнейшие расчеты на «Чебышеве».

№ слайда 86 Конец презентации по результатам проекта за 2009 г, поддержанного грантом РФФИ 0
Описание слайда:

Конец презентации по результатам проекта за 2009 г, поддержанного грантом РФФИ 09-07-12135-офи_м. Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru