Презентация на тему: Вращение твёрдого тела

Лекция № 10 Вращение твердого тела 10/04/2012 Алексей Викторович Гуденко 900igr.net

План лекции Уравнение движения и равновесия твёрдого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла. Гироскопы

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение. Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу. Примеры поступательного движения: стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости; кабина на колесе обозрения

Вращательное движение твёрдого тела. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела). Угловые скорости всех точек ω одинаковы. ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика. Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Плоское движение твёрдого тела Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v0 + ωxr (v0 – скорость оси)

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Lz = Σrimivi = ωΣmiri2 = Izω Iz = Σmiri2 = ∫r2dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Mz – z-проекция момента внешних сил Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Lzdω/dt = Mz

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил Кинетическая энергия вращающегося тела K = Σmivi2/2 = ½Σmi(ωri)2 = Izω2/2 = Lz2/2I = ½ Lz ω. В общем случае K = ½ (Lω) Работа внешней силы при повороте: dA = (Fds) = Frdφ = Mzdφ

Плоское движение твёрдого тела Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона. Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Свойства момента инерции Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = Ic + ma2 Доказательство: по теореме Кёнига для кинетической энергии: K = Iω2/2 = mvc2/2 + Icω2/2 = m(ωa)2/2 + Icω2/2 = ½ (ma2 + Ic)ω2 I = Ic + ma2

Теорема о взаимно перпендикулярных осях Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: Iz = Ix + Iy

Моменты инерции различных тел Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr2 Диск: I = ½ mr2 Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL2 – относительно середины; I = 1/3 mL2 - относительно конца Плоский прямоугольник (параллелепипед): I = 1/12 m(a2 + b2) Сфера: I = 2/3 mr2 Шар: I = 2/5 mr2 Толстый цилиндр: I = ½ m(r2 + R2)

Скатывание с наклонной плоскости С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости. Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: IAdω/dt = MA IAa = MAr a = mgr2sinα/IA = gsinα/(1 + Ic/mr2) Труба: a = ½gsinα Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα Полый шар: a = 3/5 gsinα Сплошной шар: a = 5/7 gsinα

Диск Максвелла R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение: IAdω/dt =MA IAdωr/dt =MAr IAdv0/dt =MAr a = mgr2/IA = g/(1 + R2/2r2) ≈ g/200 ≈ 5 см/с2

Свободные оси. Главные оси. Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной осью. Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс. При вращении вокруг главной оси L1 = Iω1 Для произвольной оси: L = I1ω1 + I2ω2 + I3ω3 Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков. Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок: I1 = I2 = I3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб) I1 = I2 ≠ I3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I I1 ≠ I2 ≠ I3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с Imax и Imin I = I1cos2α + I2cos2β + I3cos2γ - момент инерции относительно произвольной оси.

Гироскоп Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: L = I0ω или скорость прецессии Ω

Применение гироскопов В морской и авиа навигиции: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление. Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

Условие равновесие твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣFi = 0 Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ΣMi = 0

Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv2/2 = p2/2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции Lz = Iωz – момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K = Iω2/2 = Lz2/2I dA = Mdφ