Презентация на тему: Язык музыки в математике

Проект. Тема: «Математика в спорте и музыке» Автор: Кривогузова Юлиана Начать! 900igr.net

Ссылки. Смотреть по порядку Типы математики О Монохорде. Смотреть законы О колебаниях Появление обертонов Итог Темперация Ритм Такт. Размер. Математические ритмы Упорядочивание Текущее заключение Список литературы

Законы… В основу пифагорейской теории музыки легли два закона: Две струны дают консонанс, если их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как ½, 2/3, ¾. Высота тона определяется частотой колебания струны ω, которая обратно пропорциональна длине струны l: ω=α/ l

Колебания. Частота колебаний определяет высоту звука. 1. 16 – 16000 Гц - воспринимает чел. ухо. 2. 16 – 5000 Гц – в музыке. 96/64 = 768/512 = 3/2 – КВИНТА. Расстояние м/д нотами – интервал. Обертоны – призвуки, которыми сопровождается основной звук. Они слышны слабее и не мешают восприятию основного тона, но придают ему тембровую окраску.

Описание. Струна не колеблется: Струна колеблется:

Колебания струны. Если колеблется протяженное тело (струна), то нужно описать колебание каждой точки этого тела, т.е. функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента: координату точки струны и время. Функция выглядит так: y = A sin2∏/l*xcosωt

Таким образом… Итак, (по Пифагору) если первую струну принять за основу, то у второй струны частота колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4:3 – это назвали квартой основного тона; число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3:2 – это квинта основного тона; четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы, т.е. зависимость: ОКТАВА=КВАРТА*КВИНТА L2 : L3 = L4 : L1 Длина струны Частота колебаний Отношение частот Название L 1=1 f1=1 1 Основа L 2=3/4 f2=4/3 4:3 Кварта L 3=2/3 f3=3/2 3:2 Квинта L 4=1/2 f4=2 2 Октава

Темперация. Около 1700 года А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы…Сохранив октаву, он разделил её на 12 равных частей. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмеренность).

Продолжение. Для построения гаммы используются логарифмы соответствующих частот: log2w0, log2w1…log2wm.Октава (w0, 2w0) при этом перейдет в промежуток log2w0 до log2w0+1, т.е. в промежуток длиной 1. Геометрическая прогрессия w0,w1,…wm будет соответствовать арифметической log2w0,… Музыкальная шкала разделена на 12 частей.

Ритм Ритм – основа музыкального движения, порядок сочетания во времени всех элементов музыкальной речи: мелодии, гармонии и т.д. В музыке – тактовый (акцентный) ритм, основанный на чередовании сильных и слабых долей.

Такт, размер. |Во поле бе|рёза сто|яла| |Во поле куд|рявая сто|яла| Промежуток между сильными долями называется тактом Ударный слог – сильная доля Безударная – слабая Простые (двух-, трёхдольные) Сложные (4-, 6-, 9, 12-дольные) Смешанные (например, 5-дольные) Размер такта обозначается дробью. Соответственно Эти размеры получают при сложении простых. См.пример. 4/4, 6/8=1/8+…1/8 За основу берется нота длительностью I/8 2/4, ¾=1/4+1/4+1/4 За основу берется нота длительностью I/4

Примеры составных размеров. Пример 1: Партитура Второго концерта для скрипки С.Прокофьева. В третьей части встречаются размеры: 5/4=2/4+3/4 и 7/4=3/4+2/4+2/4 Пример 2: Опера «Снегурочка» Н.Римского-Корсакова. Встречается размер: II/2

Полиритмия, полиметрия Полиритмия - в музыке — одновременное сочетание двух или нескольких ритмических рисунков Полиметрия - одновременное сочетание 2 или 3 метров, при котором не совпадают метрические акценты в разных голосах. Одна из форм организации полиритмии. Пример 3: М.Глинка, опера «Иван Сусанин». (Сцена «Иван Сусанин и поляки», 3 действие): Иван Сусанин поет в размере 2/4, а поляки – ¾.

Ритм в математике. В математику ритм проникает как синоним слову закономерность. Например, разложим число 1/81 в десятичную дробь: 1/81=0,01234567912345679…, т.е.: 1/81=0,0(12345679). Закономерность – периодичность повторения (12345679). 1/3=0,(3) 1/7=0,(142857) Примеры выявления числовых ритмов.

Выявление МАТЕМАТИЧЕСКИХ ритмов Запишем натуральные числа в виде т.н. Пифагорова Квадрата. Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке совпадают первый числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – вторые. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Математические ритмы. Ритм в расположении чисел, равных трём, выглядит так: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… Этот ритм соответствует правильному и красивому размеру ¾ в музыке.

Ритмы в триг. функциях

Упорядочивание.

В завершении данной темы… Итак, строгие математические методы построения музыкальных ладов не только практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыки. Конечно же, роль математики в искусстве не ограничивается музыкой. Например, очень интересно построить математическую модель игры в теннис. Для просмотра этого раздела Вам необходимо активировать гиперссылку нажатием кнопки:

Список литературы. А.Г. Гейн, А.О. Касымов «Математика и музыка» Статья В.В. Липилиной из «Вестника ОмГУ» за 02. 2002г. А. И. Волошинов «Пифагор» Математика и музыка: Методические указания для руководителей кружков НПОУ «Поиск»/Сост. И.А.Круглова; Под ред. В.Н. Сергеева. Омск: Омск. Ун-т, 1991, 90 с. Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 192 с. – (Библиотечка «Квант». Вып. 44). Ресурсы Интернета.