PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Математика / От натурального числа до мнимой единицы
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: От натурального числа до мнимой единицы


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: От натурального числа до мнимой единицы


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 От натурального числа до мнимой единицы Региональном конкурс ученических творчес
Описание слайда:

От натурального числа до мнимой единицы Региональном конкурс ученических творческих работ по математике«Математика в моей жизни – 2009» Выполнил ученик 11 «Б» класса Духанов Данил.Образовательное учреждение:МОУ СОШ №2 г. ПугачёваРуководитель:учитель высшей категорииГорина Т. Е.

№ слайда 2 «Если бы не число и его природа, ничтосуществующее нельзя было бы постичь имсамо
Описание слайда:

«Если бы не число и его природа, ничтосуществующее нельзя было бы постичь имсамо по себе, ни в его отношениях к другимвещам. Мощь чисел проявляется во всехдеяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и в музыке» Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э. Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса. Я решил написать свою работу учителям математики в поддержку уроков, а также же для расширения кругозора учеников, особо интересующихся математикой.

№ слайда 3 Цель моей работы: рассказать об истории возникновении большинства существующих в
Описание слайда:

Цель моей работы: рассказать об истории возникновении большинства существующих видов чисел, отдельно рассмотреть комплексные числа, выяснить насколько они полезны и найти их практическое применение.

№ слайда 4 Задачи: 1. Собрать материал по своей теме, «провести» слушателей по всей истории
Описание слайда:

Задачи: 1. Собрать материал по своей теме, «провести» слушателей по всей истории возникновения чисел.2. Подробно рассказать о комплексных числах.3. Выяснить, а нужны ли вообще комплексные числа в современном мире? 4. Найти применение комплексных чисел в различных отраслях науки.

№ слайда 5 Давным - давно… Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральн
Описание слайда:

Давным - давно… Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало. К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.

№ слайда 6 Развитие числа Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленн
Описание слайда:

Развитие числа Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы

№ слайда 7 Развитие числа Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести чис
Описание слайда:

Развитие числа Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений нужно только действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что Кардано называл такие величины “чисто отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Итак, в настоящем времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные (последние я упомянул лишь для ознакомления, они изучаются только на последних курсах высшей математики).

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 Исторические фактыВпервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Велико
Описание слайда:

Исторические фактыВпервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).Символ i (imaginaire) предложил российский ученый Л. Эйлер (1794).Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана. 

№ слайда 10 Общий вид комплексного числа: z = a + bi,где a и b – действительные числа, а i =
Описание слайда:

Общий вид комплексного числа: z = a + bi,где a и b – действительные числа, а i = . a называют действительной частью числа и обозначают Re, b – мнимой, обозначают Im.

№ слайда 11 Сопряжённые числа Если z = a + biz = a – bi,то произведением и суммой сопряжённы
Описание слайда:

Сопряжённые числа Если z = a + biz = a – bi,то произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа:

№ слайда 12 Действия с комплексными числами Сумма: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Описание слайда:

Действия с комплексными числами Сумма: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.Произведение: (a + bi) ∙ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i. Деление:

№ слайда 13 Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел
Описание слайда:

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел

№ слайда 14 Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел Квадратные уравнения мо
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел Квадратные уравнения можно решать с помощью комплексных чисел (Если D < 0, то Например, уравнение:z2 - 3z + 8,5 = 0, D = -25, z1, 2 =

№ слайда 15 Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа называют длину вектора, соо
Описание слайда:

Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа называют длину вектора, соответствующего числу. Численно он равен корню из произведения двух сопряженных чисел:r = |z| = |a + bi| =

№ слайда 16 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел В прямоугольном треугольнике O
Описание слайда:

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна |z|. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно:a = Re z = | z | ∙ cos φ,b = Im z = | z | ∙ sin φ, где φ – аргумент комплексного числа z.Радиус-вектор OM соответствует комплексному числу z = a + bi

№ слайда 17 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Таким образом:z = a + bi = |z|
Описание слайда:

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Таким образом:z = a + bi = |z| ∙ cos φ + |z| ∙ sin φ ∙ i = |z| ∙ (cos φ + i sin φ). Произведение двух комплексных чисел будет равно:z1 ∙ z2 = |z1| ∙ |z2| (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)).При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

№ слайда 18 Формы записи комплексных чисел Алгебраическая z =a + biТригонометрическаяz = r (
Описание слайда:

Формы записи комплексных чисел Алгебраическая z =a + biТригонометрическаяz = r (cos φ + i sin φ)Показательнаяz = r e iφ , e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера

№ слайда 19 Применение комплексных чисел в планиметрии Доказать, что если в плоскости паралл
Описание слайда:

Применение комплексных чисел в планиметрии Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, то ABCD - прямоугольник. Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с = -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллелограммаравны, т. е. он прямоугольник.

№ слайда 20 Формула Муавра Формулой Муавра называют выражение, получаемое при возведение ком
Описание слайда:

Формула Муавра Формулой Муавра называют выражение, получаемое при возведение комплексного числа в степень n:zn = rn (cos nφ + i sin nφ). Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754)

№ слайда 21 Карл Фридрих Гаусс (Gauss)(1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик.
Описание слайда:

Карл Фридрих Гаусс (Gauss)(1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

№ слайда 22 Леонард Эйлер (Eular)(1707 – 1783) Леонард Эйлер - математик, академик Петербург
Описание слайда:

Леонард Эйлер (Eular)(1707 – 1783) Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, , i).

№ слайда 23 Василий Сергеевич Владимиров(1923 – ) Василий Сергеевич - советский и российский
Описание слайда:

Василий Сергеевич Владимиров(1923 – ) Василий Сергеевич - советский и российский математик, академик, Герой Социалистического Труда (1983), лауреат Сталинской премии (1953) и Государственной премии СССР (1987), доктор физико-математических наук.Основные труды по вычислительной математике, квантовой теории поля, теории аналитических функций многих комплексных переменных, уравнениям математической физики.

№ слайда 24 Применение комплексных чисел Сегодня сложно представить себе ряд наук без примен
Описание слайда:

Применение комплексных чисел Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел.

№ слайда 25 Комплексные числа в экономике Товар является носителем двух составляющих: потреб
Описание слайда:

Комплексные числа в экономике Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей.

№ слайда 26 Комплексные числа в экономике Представив какую-либо оценку потребительских свойс
Описание слайда:

Комплексные числа в экономике Представив какую-либо оценку потребительских свойств товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим: Т = П + iЦ

№ слайда 27 Применение комплексных чисел Большой вклад в развитие теории функций комплексной
Описание слайда:

Применение комплексных чисел Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в теории электротехники, электромеханики, радиотехники, самолётостроении и других наук. Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий. Применение комплексных чисел в различных отраслях науки означает, что комплексные числа всё-таки придуманы не зря и нужны для дальнейшего изучения.

№ слайда 28 Результаты проведения элективного курса в 11 классе
Описание слайда:

Результаты проведения элективного курса в 11 классе

№ слайда 29 «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что
Описание слайда:

«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Г.Лейбниц Итак, в своей работе я представил вам историю возникновения чисел.Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно изучать старшим школьникам на факультативных занятиях, так как этот метод использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Спасибо за внимание!

№ слайда 30 Использованная литература А.Г Мордкович, П.В. Семёнов: «Алгебра и начала анализа
Описание слайда:

Использованная литература А.Г Мордкович, П.В. Семёнов: «Алгебра и начала анализа» 10 класс. Москва: Мнемозина 2007;А.П.Савин: «Энциклопедический словарь юного математика»;Интернет-ресурсы.

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru