Презентация на тему: Методы решения экстремальных задач

Методы решения экстремальных задач

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления.

формировать у школьников представление о том, что экстремальная задача — математическая модель процессов реальной действительности; формировать у учащихся умения решать оптимизационные задачи методами, характерными для данного класса задач.

  В результате проведения занятий по теме ученик знает:Что называется экстремальной задачей;алгоритм решения экстремальных задач;основные методы решения экстремальных задач: метод опорных функций; метод, основанный на применении некоторых теорем.

Тема 1. «Использование свойств квадратичной функции при решении задач» (1 час) Тема 2. «Использование понятия синуса и косинуса угла при решении задач» (2 часа)Тема 3. «Решение экстремальных задач с применением некоторых теорем» (2 часа)Тема 4. «Решение прикладных задач» (1 час)Тема 5. «Решение древнейших задач с помощью производной» (1 час)Тема 6. Итоговое занятие (2 часа)

Занятие 1 Цель: Сформировать представление учащихся о понятии экстремальной задачи, об алгоритме её решения; Выделить свойства квадратичной функции, которые могут быть использованы при решении задач. Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2 где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход?

Цель: Создать условия, при которых школьники установят, каким образом понятия синуса и косинуса угла могут быть использованы при решении задач. Повторяются теоретические положения. Цель: Закрепить изученный материал решением задач. Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении задач.

Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении экстремальных задач. Цель: Рассмотреть методы решения прикладных экстремальных задач различными способами. На занятиях решаются задачи на закрепление изученного материала по данной теме.

Цель: Рассмотреть применимость производной к решению древнейших задач. Задача Герона, задача Кеплера о вписанном цилиндре, задача Тартальи, задача Евклида о параллелограмме наибольшей площади, вписанном в треугольник. Перевод задач на математический язык, их решение основным методом. Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, полученные при изучении занятий. Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, получить обратную связь от учащихся .

Занятие 1. «Экстремальные задачи. Использование свойств квадратичной функции при решении задач» Цель: создать условия, при которых школьники установят, какие свойства квадратичной функции могут быть использованы при решении задач.

В результате ученик знает:что называется экстремальной задачей;алгоритм решения экстремальных задач;один из методов решения задачи, а именно – использование свойств квадратичной функции.

В результате ученик умеет:находить наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции (используя теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции)

по источнику передачи и характеру восприятия информации – словесные (эвристическая беседа), а также практические (поиск наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции по готовым чертежам);по характеру познавательной деятельности учащихся – частично-поисковая;по степени управления учебной деятельностью – под руководством учителя через систему целесообразно подобранных задач и вопросов;метод мотивации – практическая необходимость;

На доске написана цитата: «…особенную важность имеют те науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды»П. Л. Чебышев (1821-1894)

Из курса восьмого класса вам известно, что любую квадратичную функцию у=ах2+вх+с с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у=ах2+вх+с=а ( х+в/2а)2+(4ас-в2)/4а. Основные возможности квадратичной функции, в плане решения оптимизационных задач, связаны именно с таким её представлением: у =а (х-х0)2+у0Скажите, какие координаты имеет тогда вершина параболы?

Учитель Далее, учитывая знак числа а, то есть направление ветвей параболы, можно без труда найти наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции . Чему оно будет равно? Теперь сформулируем теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Ученики (записывают в тетрадь). Теорема о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Если а>0 ( а

Учитель. Начнём работу с решения задачи 1. Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га сельскохозяйственных угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2, где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в млн. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход? Каков будет этот доход? На доске и в тетрадях учеников появляются записи: Задача 1. Функция у =9+9х-1,5х2 принимает наибольшее значение при х=-9/2(-1,5) , х=3 (тыс. га.), унаиб=4(-1,5)9-92/4(-1,5) , у=22,5(млн. руб.). Ответ: хозяйство будет иметь наибольший доход на 100 га сельск. угодий, равный приблизительно22,5 млн. руб., при площади 3 тыс. га.

Учитель любая экстремальная задача может быть решена по следующей схеме, состоящей из пяти этапов. Проанализировав условие задачи, определяют, наибольшее или наименьшее значение какой величины следует найти (часто говорят: какую величину следует оптимизировать?).Одну из неизвестных величин принимают за независимую переменную и обозначают её буквой х . Определяют границы изменения х.

Исходя из условия задачи величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, выражают через х и известные величины (чаще всего зависимость выражается с помощью функции у=f(х))).Находят средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х .Интерпретируют результат для рассматриваемой задачи. Записывают ответ.

Задача 2. На плоскости даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Из точки А на ВС опущен перпендикуляр АД, при чём АД=а,ВД=в , и СД=с . На отрезке ВД отмечена точка М так, чтобы значение суммы квадратов расстояний от М до А,В и С было наименьшим. Найти это значение. Решение. 1 этап. Оптимизируемая величина: АМ2+ВМ2+СМ2 . 2этап. Независимая переменная: МД=х , о

Задача 3. Отрезок длиной а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его частях, была наименьшей. Учитель. Какую величину следует оптимизировать? Чему равна площадь квадрата ADFG? DBNM ? Какой вид примет оптимизируемая величина? Подумайте, какую из величин следует принять за независимую переменную? Теперь определите границы изменения х. Выразим оптимизируемую величину через х. Найдем наименьшее значение функции и интерпретируем результат задачи. Ответ: следует разделить отрезок пополам.

На доске и в тетрадях учеников появляются следующие записи: Задача 3. 1 этап. Оптимизируемая величина: SADFG+SDBNM, 2 этап. Независимая переменная:AD=x , o

Сегодня на уроке вы узнали много нового. Дома вы решите задачу 4, используя рассмотренную на уроке схему. Задача 4. На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении неразрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда, если начальная скорость снарядаV0=300 m/c. Ускорение земного притяжения считать равным 10 m/c2, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Смирнова И., Смирнов В. Экстремальные задачи по геометрии. — М.: Чистые пруды, 2007. — 32 с.: ил.Алгебра: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение,2002. —384с.: ил.Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.Виленкин Н.Я. Алгебра для 9 кл. с угл. изуч. математики. М.: «Посвещение».-2005год.

Нагибин Ф. Ф. Экстремумы. – М.: Просвещение, 1966. – 119с.Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000. – 144с.: ил.Зильберберг Н. И. Алгебра и начала анализа. Для углубленного изучения в 10 классе. – Псков, 1994. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции// Математика.- 2007.- №7.- С.2-7Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»// Математика.- 2007.- №7.- С.11Итоговое повторение по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»// Математика.- 2007.- №7.- С.8-10Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова; Под ред. Проф. Т.А. Ивановой.- Н.Новгород: НГПУ,2003, 320с