Презентация на тему: Задания на симметрию

Центральная симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии, если O является серединой отрезка AA'. Точка O считается симметричной сама себе. Фигура Ф в пространстве называется центрально-симметричной относительно точки O, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно точки O некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед центрально-симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар центрально-симметричен относительно своего центра и т. д. 900igr.net

Осевая симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно прямой a, называемой осью симметрии, если прямая a проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна этому отрезку. Точки прямой a считаются симметричными сами себе. Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно оси a, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой оси некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси и т. д.

Зеркальная симметрия Точки A и A' в пространстве называются симметричными относительно плоскости α, называемой плоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна к нему. Точки плоскости α считаются симметричными сами себе. Симметрия относительно плоскости называется также зеркальной симметрией. Фигура Ф в пространстве называется зеркально-симметричной относительно плоскости α, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой плоскости некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед зеркально-симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.

Симметрия n-го порядка Прямая a называется осью симметрии n-го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф на угол вокруг прямой a фигура Ф совмещается сама с собой. Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии. Например, в правильной n-угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n-го порядка.

Упражнение 1 Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур. Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.; не центрально-симметричные: пирамида, конус и др.

Упражнение 2 Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей? Ответ: Да.

Упражнение 3 Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д. имеют бесконечно много центров симметрии.

Упражнение 4 Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии?

Упражнение 5 Имеет ли центр симметрии: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) да.

Упражнение 6 Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная призма? Ответ: Нет.

Упражнение 7 Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная антипризма? Ответ: Да.

Упражнение 8 Имеет ли центр симметрии: а) усеченный тетраэдр; б) усеченный куб; в) усеченный октаэдр; г) усеченный икосаэдр; д) усеченный додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) да.

Упражнение 9 Имеет ли центр симметрии: а) кубооктаэдр; б) икосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

Упражнение 10 Имеет ли центр симметрии: а) усеченный кубооктаэдр; б) усеченный икосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

Упражнение 11 Имеет ли центр симметрии: а) ромбокубооктаэдр; б) ромбоикосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

Упражнение 12 Имеет ли центр симметрии: а) курносый куб; б) курносый додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) нет.

Упражнение 13 Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты? Ответ: 3.

Упражнение 14 Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, две грани которого являются квадратами? Ответ: 5.

Упражнение 15 Сколько осей симметрии имеет шар? Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 16 Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии 3-го, 4-го и т. д. порядков. Ответ: Правильные 3-угольные, 4-угольные пирамиды.

Упражнение 17 Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная призма? Ответ: Пять осей симметрии второго порядка и одну ось симметрии пятого порядка.

Упражнение 18 Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная антипризма? Ответ: Нет.

Упражнение 19 Какие оси симметрии имеет тетраэдр? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через вершины и центры противоположных граней; 3 оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.

Упражнение 20 Какие оси симметрии имеет куб? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Упражнение 21 Какие оси симметрии имеет октаэдр? Ответ: 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Упражнение 22 Какие оси симметрии имеет икосаэдр? Ответ: 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Упражнение 23 Какие оси симметрии имеет додекаэдр? Ответ: 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Упражнение 24 Какие оси симметрии имеет кубооктаэдр? Ответ: 6 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных квадратных граней.

Упражнение 25 Какие оси симметрии имеет икосододекаэдр? Ответ: 15 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных пятиугольных граней.

Упражнение 26 Приведите пример фигуры, имеющей центр симметрии, но не имеющей оси симметрии. Ответ: Наклонный параллелепипед.

Упражнение 27 Приведите пример фигуры, имеющей ось симметрии, но не имеющей центра симметрии. Ответ: Правильная четырехугольная пирамида.

Упражнение 28 Укажите центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых. Ответ: Центр симметрии – точка пересечения данных прямых. Оси симметрии – две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованные данными прямыми, и прямая, проходящая через точку пересечения данных прямых и перпендикулярная их плоскости. Если данные прямые перпендикулярны, то сами они также являются осями симметрии. Плоскости симметрии: плоскость данных прямых и две плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованные данными прямыми и перпендикулярные их плоскости.

Упражнение 29 Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты? Ответ: 3.

Упражнение 30 Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма? Ответ: 7.

Упражнение 31 Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) 6; б) 9; в) 9; г) 15; д) 15.

Упражнение 32 Сколько плоскостей симметрии имеет кубооктаэдр? Ответ: 9.

Упражнение 33 Сколько плоскостей симметрии имеет икосододекаэдр? Ответ: 15.

Упражнение 34 Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии. Ответ: Пирамида, в основании которой параллелограмм, может иметь ось симметрии, но не имеет плоскости симметрии. Правильная треугольная пирамида имеет плоскости симметрии, но не имеет осей симметрии.