PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Алгебра / Теория вероятностей. Случайные величины
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Теория вероятностей. Случайные величины


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Теория вероятностей. Случайные величины


Скачать эту презентацию



№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов)
Описание слайда:

Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов). Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов). Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания. Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях. Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р

№ слайда 3 Вероятность того, что при n испытаниях Вероятность того, что при n испытаниях со
Описание слайда:

Вероятность того, что при n испытаниях Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к-раз:

№ слайда 4 Пример. Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит норм
Описание слайда:

Пример. Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания. Решение. По формуле Бернулли

№ слайда 5 Асимптотические формулы. Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть чис
Описание слайда:

Асимптотические формулы. Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть число испытаний n - велико ( n→∞ ) Вероятность р события А – мала ( р→0 ) Причем Тогда при любом фиксированном к

№ слайда 6 Пример 1 . Пример 1 . Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки
Описание слайда:

Пример 1 . Пример 1 . Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток. Решение. Вероятность того, что плитка окажется поврежденной, р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5<10. По формуле Пуассона: а) б)

№ слайда 7 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть
Описание слайда:

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n→∞) Вероятность р события А – не очень мала ( 0<<р<<1 ) (р не близко к 0 и к 1) Тогда при любом фиксированном к

№ слайда 8 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Описание слайда:

3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

№ слайда 9 Пример 2 . Пример 2 . Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб
Описание слайда:

Пример 2 . Пример 2 . Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта. Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта. Решение. n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1. По локальной теореме Муавра –Лапласа:

№ слайда 10 Пример 3 . Пример 3 . Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. П
Описание слайда:

Пример 3 . Пример 3 . Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Производится 100 выстрелов. Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз. Определить вероятность выполнения норматива. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

№ слайда 11 Задача. Задача. Производится n независимых однородных испытаний. В каждом испыта
Описание слайда:

Задача. Задача. Производится n независимых однородных испытаний. В каждом испытании событие А может наступить с вероятностью р, где 0 << р << 1. Найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности р (по абсолютной величине) не более чем на ε>0 :

№ слайда 12 Решение. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Описание слайда:

Решение. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

№ слайда 13 Тогда Тогда Анализ :
Описание слайда:

Тогда Тогда Анализ :

№ слайда 14 Определение. Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числ
Описание слайда:

Определение. Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Пример 1. 1. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.

№ слайда 15 Пример 2. Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых
Описание слайда:

Пример 2. Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, событие А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. , если при i-ом испытании событие А наступило, и , если оно не наступило. Случайная величина - число наступлений события А в схеме Бернулли.

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимат
Описание слайда:

Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Значения непрерывной случайной величины –принадлежат интервалу (конечному или бесконечному).

№ слайда 18 Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: послед
Описание слайда:

Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. Пусть Х – число наступлений события А. Х={ 0,1,2,…,п } – дискретная случайная величина. Пример 4. Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А. Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А. ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина.

№ слайда 19 Пример 5. Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – коор
Описание слайда:

Пример 5. Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – координата точки попадания. Х є [ а,в] – непрерывная случайная величина. Пример 6. Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина. μ є ( 0, ∞ )

№ слайда 20 Функция распределения и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Опреде
Описание слайда:

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Определение. Функция , равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения: Свойства. 1. Область определения F(x): х є (-∞, ∞). 2. Область значений : 0 ≤ F(x) ≤ 1. 3. Функция F(x) – неубывающая: 4. 5. Вероятность попадания в интервал (а,в):

№ слайда 21 Определение. Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – эт
Описание слайда:

Определение. Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Способы задания: Таблично Графически Аналитически

№ слайда 22 Примеры. Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли): 2. Равномерное расп
Описание слайда:

Примеры. Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли): 2. Равномерное распределение ( в классической схеме): 3. Распределение Пуассона:

№ слайда 23 Основное свойство Основное свойство закона распределения: Функция распределения
Описание слайда:

Основное свойство Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывная функция. График функции распределения – ступенчатая фигура.

№ слайда 24 Определение. Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее ф
Описание слайда:

Определение. Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду производную F'(x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.

№ слайда 25 1. 1. 2. 3. 4.
Описание слайда:

1. 1. 2. 3. 4.

№ слайда 26 Пример. Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координат
Описание слайда:

Пример. Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти функцию распределения F(x) и плотность f(x). Решение. Из определения:

№ слайда 27
Описание слайда:

№ слайда 28 Математическое ожидание. Математическое ожидание. Определение. Математическим ож
Описание слайда:

Математическое ожидание. Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется число, равное

№ слайда 29 Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равн
Описание слайда:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное

№ слайда 30 Свойства математического ожидания. Свойства математического ожидания. 1. 2. 3. 4
Описание слайда:

Свойства математического ожидания. Свойства математического ожидания. 1. 2. 3. 4.

№ слайда 31 Пример 1. Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– коорд
Описание слайда:

Пример 1. Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти математическое ожидание Решение. Из определения:

№ слайда 32 Дисперсия случайной величины. Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперс
Описание слайда:

Дисперсия случайной величины. Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

№ слайда 33 Свойства дисперсии. Свойства дисперсии. 1. 2. 3. 4. Следствие.
Описание слайда:

Свойства дисперсии. Свойства дисперсии. 1. 2. 3. 4. Следствие.

№ слайда 34 Доказательство.
Описание слайда:

Доказательство.

№ слайда 35 Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Среднеквадратическое отклоне
Описание слайда:

Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется число Свойства. 1. 2.

№ слайда 36 Пример 2. Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– коорд
Описание слайда:

Пример 2. Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Решение. Из формулы:

№ слайда 37
Описание слайда:

№ слайда 38
Описание слайда:

№ слайда 39 ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). ξ=(число «успехов» при n
Описание слайда:

ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). Закон распределения:

№ слайда 40 ξ=(0,1,2,…,n,…) ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:
Описание слайда:

ξ=(0,1,2,…,n,…) ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:

№ слайда 41 ξ=(0,1,2,…,n,…) ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:
Описание слайда:

ξ=(0,1,2,…,n,…) ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:

№ слайда 42 Плотность распределения: Плотность распределения: Функция распределения:
Описание слайда:

Плотность распределения: Плотность распределения: Функция распределения:

№ слайда 43 Плотность распределения: Плотность распределения: Функция распределения:
Описание слайда:

Плотность распределения: Плотность распределения: Функция распределения:

№ слайда 44 Определение. Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное расп
Описание слайда:

Определение. Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ, если плотность распределения Вероятностный смысл параметров:

№ слайда 45 График плотности распределения. График плотности распределения. Нормированное ра
Описание слайда:

График плотности распределения. График плотности распределения. Нормированное распределение.

№ слайда 46 Функция распределения. Функция распределения.
Описание слайда:

Функция распределения. Функция распределения.

№ слайда 47 Вероятность попадания в интервал. Вероятность попадания в интервал. Следствие: (
Описание слайда:

Вероятность попадания в интервал. Вероятность попадания в интервал. Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)

№ слайда 48 Правило «3σ». Правило «3σ».
Описание слайда:

Правило «3σ». Правило «3σ».

№ слайда 49 Пример. Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная
Описание слайда:

Пример. Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ? Решение.

№ слайда 50 Определение. Определение. Если любому значению случайной величины Х соответствуе
Описание слайда:

Определение. Определение. Если любому значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то говорят что Y – функция случайного аргумента Х: Пример. Х – случайная величина. Y=X² или Y = (Х-а)² -функции от Х.

№ слайда 51
Описание слайда:

№ слайда 52 Пример 1. Пример 1.
Описание слайда:

Пример 1. Пример 1.

№ слайда 53 Пример 2. Пример 2.
Описание слайда:

Пример 2. Пример 2.

№ слайда 54 В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими
Описание слайда:

В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими случайными величинами, то говорят, что имеется система случайных величин:

№ слайда 55 Двумерные случайные величины Двумерные случайные величины Дискретные - закон рас
Описание слайда:

Двумерные случайные величины Двумерные случайные величины Дискретные - закон распределения

№ слайда 56 Непрерывные - функция распределения Непрерывные - функция распределения - вероят
Описание слайда:

Непрерывные - функция распределения Непрерывные - функция распределения - вероятность попадания в бесконечный угол

№ слайда 57 Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Плотность распределения
Описание слайда:

Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Определение. Плотностью распределения случайного вектора называют Свойства плотности 1. 2.

№ слайда 58 Зависимость случайных величин. Зависимость случайных величин. Случайный вектор ;
Описание слайда:

Зависимость случайных величин. Зависимость случайных величин. Случайный вектор ; - плотность, - функция распределения.

№ слайда 59 Ковариация. Коэффициент корреляции. Ковариация. Коэффициент корреляции. Определе
Описание слайда:

Ковариация. Коэффициент корреляции. Ковариация. Коэффициент корреляции. Определение 1. Ковариацией случайных величин X и Y называют число

№ слайда 60 Свойства. Свойства. 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то 2. 3. Есл
Описание слайда:

Свойства. Свойства. 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то 2. 3. Если X и Y – линейно зависимые, то есть , то

№ слайда 61 Определение 1. Определение 1. Начальным моментом случайной величины Х порядка n
Описание слайда:

Определение 1. Определение 1. Начальным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Определение 2. Центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание :

№ слайда 62 Определение 3. Определение 3. Абсолютным центральным моментом случайной величины
Описание слайда:

Определение 3. Определение 3. Абсолютным центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Частные случаи: 1) М(Х)=а – начальный момент 1-го порядка ; 2) М((Х-а))=0 – центральный момент 1-го порядка; 3) М((Х-а)²)=D(X ) – центральный момент 2-го порядка.

№ слайда 63
Описание слайда:

№ слайда 64 Пусть Х – случайная величина; Пусть Х – случайная величина; Следствие: Чем меньш
Описание слайда:

Пусть Х – случайная величина; Пусть Х – случайная величина; Следствие: Чем меньше дисперсия случайной величины Х, тем меньше вероятность отклонения Х от а на большую величину. Правило «3σ» (для любой случайной величины):

№ слайда 65 Определение. Определение. Последовательность случайных величин сходится по вероя
Описание слайда:

Определение. Определение. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине Х, если Обозначение:

№ слайда 66 Теорема Чебышева. Теорема Чебышева. Пусть - попарно независимые случайные величи
Описание слайда:

Теорема Чебышева. Теорема Чебышева. Пусть - попарно независимые случайные величины; Среднее арифметическое независимых случайных величин при n – больших - неслучайная величина.

№ слайда 67 Теорема Хинчина (1929 г.). Теорема Хинчина (1929 г.). Пусть - независимые случай
Описание слайда:

Теорема Хинчина (1929 г.). Теорема Хинчина (1929 г.). Пусть - независимые случайные величины, Тогда При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Практический смысл: при измерении физической величины в качестве точного значения берут среднее арифметическое нескольких измерений.

№ слайда 68 Теорема. Теорема. Пусть - независимые случайные величины, имеющие один и тот же
Описание слайда:

Теорема. Теорема. Пусть - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ² . Пусть - нормированные случайные величины. Тогда то есть

№ слайда 69 Теорема Ляпунова (1901 г.). Теорема Ляпунова (1901 г.). Пусть - независимые случ
Описание слайда:

Теорема Ляпунова (1901 г.). Теорема Ляпунова (1901 г.). Пусть - независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент . Пусть Тогда , если , то

№ слайда 70 Распределение - асимптотически нормально с параметрами Распределение - асимптоти
Описание слайда:

Распределение - асимптотически нормально с параметрами Распределение - асимптотически нормально с параметрами

№ слайда 71 Следствие: нормальный закон занимает особое место в теории ошибок измерений. Оши
Описание слайда:

Следствие: нормальный закон занимает особое место в теории ошибок измерений. Ошибку измерения можно рассматривать как сумму большого числа независимых слагаемых, каждое из которых дает малый вклад в общую сумму. Распределение ошибки измерений близко к нормальному закону. Замечание (Липман). Каждый уверен в справедливости закона ошибок: Экспериментаторы – потому что они думают, что это математическая теорема, Математики – потому что они думают, что это экспериментальный факт.

№ слайда 72 Пример. Пример. В геодезии причинами возникновения ошибок являются влияние внешн
Описание слайда:

Пример. Пример. В геодезии причинами возникновения ошибок являются влияние внешних условий неточности изготовления и юстировки приборов неточности выполнения измерений наблюдателем При измерении горизонтального направления многократное преломление лучей неравномерное освещение объекта неустойчивость сигнала вращение прибора вследствие нагревания солнцем («кручение») неустойчивость теодолита температурные и другие изменения в приборе ошибки юстировки ошибки разделения горизонтального круга личные ошибки наблюдателя и т.д.

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru