Презентация на тему: Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля



Слайд 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯМОУ «ИНСАРСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ Ш

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯМОУ «ИНСАРСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1» Конкурс проектно – исследовательских работ «Интеллектуальное будущее Мордовии – 2008» Секция: математика Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля Автор работы: ЛУКИНА НИНА, 9 кл; Научный руководитель: Чудаева Е. В., учитель математики


Слайд 2
ВНИМАНИЕ! При использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав

ВНИМАНИЕ! При использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав!


Слайд 3
Объект исследования: решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля

Объект исследования: решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля Предмет исследования: способы решения уравнений ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля


Слайд 4
Методы исследования: Работа с литературными источниками.2) Математическое модели

Методы исследования: Работа с литературными источниками.2) Математическое моделирование постановки задачи для построения графического образа линий, входящих в данное уравнение.3) Эксперимент: исследование различных подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение .


Слайд 5
Содержание работы ВВЕДЕНИЕГЛАВА 1. Решение уравнений.1.1.Определение модуля. Реш

Содержание работы ВВЕДЕНИЕГЛАВА 1. Решение уравнений.1.1.Определение модуля. Решение по определению1.2. Решение уравнений по правилам1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей1.4. Метод интервалов в задачах с модулями1.5. Вложенные модули1.6. Модули и квадраты1.7. Модули неотрицательных выраженийГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач.2.1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля2.4. Графическое решение задач с параметром и модулемЗАКЛЮЧЕНИЕЛИТЕРАТУРАПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование вида графического образа заданного неравенством , в зависимости от параметров a и b


Слайд 6
1.1.Определение модуля. Решение по определению. По определению, модуль, или абсо

1.1.Определение модуля. Решение по определению. По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a: Запишем решение простейших уравнений в общем виде: Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x. Рассматриваем два случая.При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения. При x – 3 < 0 получаем 3 – x = 3 – 2x и x = 0. Этот корень удовлетворяет соответствующему условию x – 3 < 0. Итак, ответ к исходному уравнению: x = 0. Ответ: х = 0.


Слайд 7
1.2. Решение уравнений по правилам        1-е правило: |f(x)| = g(x)  Û        2

1.2. Решение уравнений по правилам        1-е правило: |f(x)| = g(x)  Û        2-е правило:  |f(x)| = g(x) Û ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности. Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы. Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.


Слайд 8
|f(x)| = |g(x)| Û Пример . Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.Решение

|f(x)| = |g(x)| Û Пример . Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня .


Слайд 9
Третий способ освобождения от модуля – замена переменной Пример . Решить уравнен

Третий способ освобождения от модуля – замена переменной Пример . Решить уравнение: Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид: Пусть , тогда решим квадратное уравнение:Его корни , условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение решая которое находим: Ответ: .


Слайд 10
Задачи с несколькими модулями. Два основных подхода к решению. «последовательное

Задачи с несколькими модулями. Два основных подхода к решению. «последовательное» раскрытие модулей Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей. «параллельное» раскрытие модулей Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями.


Слайд 11
Пример. Решить уравнение: Решение.Уединим второй модуль и раскроем его, пользуяс

Пример. Решить уравнение: Решение.Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины: К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:   Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам :


Слайд 12
Пример. Решить уравнение: Решение.Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений

Пример. Решить уравнение: Решение.Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.    Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.


Слайд 13
Метод интервалов в задачах с модулями. Пусть имеется уравнение, в которое входят

Метод интервалов в задачах с модулями. Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.        Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x ³ b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения. В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.


Слайд 14
Пример. Решить уравнение: Решение.Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x

Пример. Решить уравнение: Решение.Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x=-2 , x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями. Решаем задачу на каждом интервале: Итак, данное уравнение не имеет решений.


Слайд 15
Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", гд

Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько. Решение.Освободимся от внешнего модуля, получим: Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение равносильно совокупности:


Слайд 16
Модули и квадраты Существует простой и быстрый способ освобождения от знака моду

Модули и квадраты Существует простой и быстрый способ освобождения от знака модуля в уравнениях вида |f(x)| = |g(x)|: Он основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b Û a2 > b2; a = b Û a2 = b2.    Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a|2 = a2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование: Эту же идею можно применить к уравнениям или неравенствам, одна часть которых равна нулю, а другая содержит разность модулей как сомножитель. В такой задаче разность модулей можно заменить разностью квадратов тех же выражений:


Слайд 17
Модули неотрицательных выражений. Пример 1. Решить уравнение: Решение. Нетрудно

Модули неотрицательных выражений. Пример 1. Решить уравнение: Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим Пример 2. Решить уравнение: Решение. Воспользуемся тождеством , и получим уравнение , решая которое методом интервалов получим ответ


Слайд 18
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить уравн

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить уравнение : 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0. Для решения уравнения графическим способом,надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (-4; 6) и (-1; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:


Слайд 19
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить равне

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить равнение: | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:


Слайд 20
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить графи

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить графически уравнение Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики: Эти графики пересекаются в двух точках (-2; -3) и (2; 3), следовательно, исходное уравнение имеет два решения


Слайд 21
Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня? Выражая парам

Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня? Выражая параметр а, получаем: Данное уравнение равносильно совокупности График этой совокупности – объединение уголка и параболы. пересекает полученное объединение в трех точках. Ответ:


Слайд 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы:Изучили литературу по данному вопросу.Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.и пришли к выводу: В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.


Скачать бесплатно презентацию Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля