Презентация на тему: Урок одного уравнения

Цели: рассмотреть различные методы решения тригонометрического уравнения; Цели: рассмотреть различные методы решения тригонометрического уравнения; развивать умение логически мыслить. Оборудование: интерактивная доска. презентация, чертежные инструменты., тригонометрические формулы.

Уравнение одно – решений много. Уравнение одно – решений много. Выполнили: Баранова Светлана Езенкова Дарья Руководитель: Секисова Валентина Васильевна МБОУ «СОШ №7» г Касимов

Мудрость гласит: Мудрость гласит: «Все дороги ведут в Рим»

sin x – cos x = 1

I способ Метод разложения на множители, используя формулы двойного угла sin x – cos x = 1 Применим формулы двойного угла: sin a = 2sin a/2cos a/2 cos a= 2cos² a/2 – 1 Тогда данное уравнение примет вид: 2sin x/2cos x/2 – (2cos² x/2 – 1) = 1 2sin x/2cos x/2 – 2cos² x/2 + 1 = 1 2sin x/2cos x/2 – 2cos² x/2 = 0 Разложим на множители 2cos x/2(sin x/2 – cos x/2) = 0

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 Частный случай. Имеем однородное уравнение I степени, поделим на cos x/2 ≠ 0 x/2 = π/2 + πn, n ϵ Z tg x/2 – 1 = 0 x= π + 2πn, n ϵ Z tg x/2 = 1 x/2 = π/4 + πn, n ϵ Z x = π/2 + 2 πn, n ϵ Z

Покажем на окружности x = π + 2πn, n ϵ Z x = π/2 + 2 πn, n ϵ Z Ответ: x= π + 2πn, n ϵ Z x = π/2 + 2 πn, n ϵ Z

II способ   Переход к однородному уравнению, применяя основные тригонометрические формулы sin x – cos x = 1 Решим уравнение, применим формулу двойного угла: sin a = 2sin a/2 cos a/2 cos a = cos² a/2 – sin² a/2 1 = cos² a/2 + sin² a/2   2sin a/2cos a/2 - cos² a/2 + sin² a/2 = cos² a/2 + sin² a/2 2sin a/2cos a/2 - 2cos² a/2 = 0 Разложим на множители 2cos x/2(sin x/2- cos x/2) = 0  

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 Частный случай. Имеем однородное уравнение 1 степени, поделим на cos x/2 ≠ 0 x/2 = π/2 + πn, n ϵ Z tg x/2 – 1 = 0 x= π + 2πn, n ϵ Z tg x/2 = 1 x/2 = π/4 + πn, n ϵ Z x = π/2 + 2πn, n ϵ Z   Ответ: x= π + 2πn, n ϵ Z x = π/2 + 2πn, n ϵ Z

III способ При применении универсальной тригонометрической подстановки мы можем любое тригонометрическое уравнение свести к алгебраическому, но при этом необходимо помнить, что может произойти потеря корней. Поэтому необходимо выполнить проверку. sin x – cos x = 1 Применим универсальную подстановку sin a = (2tg a/2)/(1+tg² x/2) cos a = (1- tg² x/2)/(1+tg² x/2)   (2tg a/2)/(1+tg² x/2) - (1- tg² x/2)/(1+tg² x/2) = 1 (доп. множитель 1+tg² x/2 ) 2tg x/2 – 1 + tg² x/2 = 1 + tg² x/2 2tg x/2 = 2 tg x/2 = 1 Частный случай. x/2 = π/4 + πn, n ϵ Z x= π/2 + 2πn, n ϵ Z

Проверим, не произошло ли потери корней, это те значения, при которых tg x/2 не имеет смысла: Проверим, не произошло ли потери корней, это те значения, при которых tg x/2 не имеет смысла: x/2 = π/2 + πn, n ϵ Z x= π + 2πn, n ϵ Z Следовательно, корни x= π + 2πn потеряны. 2 sin π – cos π = 1 0 - (-1) = 1 1=1 верно Ответ: x= π/2 + 2πn, n ϵ Z x= π + 2πn, n ϵ Z

IV способ Переход к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения формул сложения. sin x – cos x = 1 Применим формулы привидения cos a = sin(π/2 – a), тогда sin x – sin(π/2 – x) = 1 Применим формулу разности синусов: sin x – sin b = 2cos(a+b)/2sin(a-b)/2 2sin(x – π/2 + x)/2cos(x + π/2 – x)/2 =1 2sin(2x – π/2)cos π/4 =1 2sin(x – π/4)√2/2 = 1 √2sin(x – π/4) = 1 sin(x – π/4) = √2/2 Получили простейшее тригонометрическое уравнение. x - π/4 = (-1)^narcsin √2/2 + πn, n ϵ Z x - π/4 = (-1)^nπ/4 + πn, n ϵ Z x = (-1)^nπ/4 + π/4 + πn, n ϵ Z

Покажем решение на единичной окружности. sin(x – π/4) = √2/2 π/4 3π/4 x - π/4 = π/4 + 2πn, n ϵ Z x = π/2 + 2πn, n ϵ Z x - π/4 = 3π/4 + 2πn, n ϵ Z x = π + 2πn, n ϵ Z   Ответ: x = π/2 + 2πn, n ϵ Z x = π + 2πn, n ϵ Z

V способ Метод введения вспомогательного угла намного ускоряет процесс решения уравнения Уравнение вида asin x + bsin x = с 1 Найдем 2 Раздели почленно  (a/)sin x + (b/)cos x= c/ 3 Обозначим cos φ = a/sin φ = b/ 4 Подставим cos φsin x + sin φcos x= c/ 5 Левую часть свернем по формуле sin(a + b) = sin acos b + cos asin b sin(x + φ) = c/ 6 Получили простейшее тригонометрическое уравнение. x + φ = (-1)^narcsin (c/) + πn, n ϵ Z x = (-1)^narcsin (c/) - φ + πn, n ϵ Z  

sin x – cos x = 1 1 == √2 2 (1/√2)sin x – (1/√2)cos x= 1/√2 3 cos φ = 1/√2 = √2/2 sin φ = 1/√2 = √2/2 φ = π/4 φ = π/4 4 Свернем по формуле sin(a – b) sin(x – π/4) = √2/2 x – π/4 = (-1)^narcsin √2/2 + πn, n ϵ Z x – π/4 = (-1)^nπ/4 + πn, n ϵ Z x = (-1)^nπ/4 + π/4+ πn, n ϵ Z  

Запишем в двух сериях sin(x – π/4) = √2/2 Корни I серии обозначим - π/4 Корни II серии обозначим - 3π/4 x – π/4 = π/4 + 2πn, n ϵ Z x = π/2 + 2πn, n ϵ Z x – π/4 = 3π/4 + 2πn, n ϵ Z x= π + 2πn, n ϵ Z   Ответ: x = π/2 + 2πn, n ϵ Z x= π + 2πn, n ϵ Z  

Решим самостоятельно Решить каждое уравнение несколькими способами. (Работа в парах) sin x - cos x = 2 sin x/6 + +1 = 0

Сверим ответы. sin x - cos x = Ответ: 1)±5π/6-π/4+2πn, n € Z sin x/6 + +1 = 0 Ответ: 2) )±4π+π(12n+1)/ n € Z

Дома. Решить два уравнение (по выбору) всеми способами. 1 cos x + = √2 2 cos(x - π/6) - sin(x - π/6)tg π/6 = -(1/√3) 3 2sin x = 4 √2sin x = 2 -

Спасибо за внимание

Литература