Презентация на тему: Прикладная математика и иформатика

Донецкий Национальный Технический УниверситетФакультет Вычислительной ТехникиКафедра Прикладной Математики и ИнформатикиСпециальность «Программное обеспечение автоматизированных систем»

Метод Гаусса решения СЛАУ.Модификации.Варианты распараллеливанияДокладчик: Кожухов А.Е.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Задание СЛАУ

Задание СЛАУПри матричном задании СЛАУ имеют место обозначения:А – матрица коэффициентов системы;b – вектор свободных членов уравнений системы;x – вектор неизвестных величин системы.

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводимы задачи из многих областей физики: электромагнитной теории; электродинамики; теплопередачи; диффузии; квантовой механики. Задачи, сводимые к решению СЛАУ

Задачи, сводимые к решению СЛАУОсобенности постановки задач: являются конечно–разностными или конечно–элементными моделями; задаются дифференциальными уравнениями с начальными или краевыми условиями.

Классы методов решения СЛАУПрямые методы:а)метод Холесского для плотных матриц;б)метод Холесского для ленточных матриц;в)метод вычисления явного обращение матриц; г)метод Холесского для разреженных матриц; д)метод быстрого преобразования Фурье;е)метод блочно–циклической редукции;ж)метод исключения Гаусса.

Классы методов решения СЛАУИтерационные методы:а)метод Якоби;б)метод Гаусса–Зейделя;в)метод сопряжённых градиентов;г)метод последовательной верхней релаксации;д)метод ускорения Чебышева с симметричной последовательной верхней релаксации;е)многосеточный метод.

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ГАУССА

Деление коэффициентов текущего уравнения на коэффициент при исключаемой переменной: Шаг прямого хода

Для всех уравнений со 2–ого по n–ое выполнить действия: умножение обеих частей 1–ого уравнения на взятый с обратным знаком коэффициент при первом члене текущего уравнения; сложение результатов предыдущей операции с коэффициентами и свободным членом текущего уравнения. Шаг прямого хода

Шаг прямого ходаИз уравнений со 2–ого по n–ое можно составить эквивалентную исходной систему уравнений, но с количеством неизвестных (n–1).На k–ом шаге рассматривается система из (n–k+1) уравнений с (n–k+1) неизвестными. Выполнив очередной шаг метода Гаусса по отношению к этой системе уравнений, получим систему с (n–k+1).После выполнения n шагов метода Гаусса матрица коэффициентов системы уравнений будет верхней треугольной

Результат выполнения прямого хода метода Гаусса

Обратный ход метода Гаусса – вычисление значений переменных, начиная с xn до x1.

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ГАУССА

Метод Гаусса в матричной формеПусть задана исходная система уравнений. Тогда на исключение неизвестной xi из уравнений системы осуществляется следующим образом: умножением матрицы коэффициентов A(i) слева на диагональную матрицу Di; умножением Di * A(i) слева на матрицу Qi.

Метод Гаусса в матричной форме

Метод Гаусса в матричной форме

Метод Гаусса в матричной формеОсуществление i–ого шага метода Гаусса в матричной форме имеет вид: L1 * A(i) x = L1 * b(i).Полная последовательность операций матричного умножения по исключению переменных имеет вид: Li*…*L2*L1 * A * x = Li*…*L2*L1 * b.Произведение U = Ln*…*L2*L1 * A является верхней треугольной матрицей с единичной главной диагональю. Произведение L = L-11*L-12*…*L-1n является нижней треугольной матрицей.