Презентация на тему: Задачи на построение с помощью одной линейки

Решение задач на построение состоит из 4 этапов: Решение задач на построение состоит из 4 этапов: Анализ Построение Доказательство Исследование

Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.) Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.)

Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Теорема Менелая. Точки A1 , B1 и C1 , расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) AB1 CA1 BC1 * * = -1. B1C A1B C1A

Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W , лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W , лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A/B/), (В/С/), (А/С/) соответственно. Тогда для SАВ и секущей (А/В/) имеем: Для SВС и секущей (В/С/) имеем:

Для SАС и секущей (А/С) имеем: Для SАС и секущей (А/С) имеем: Умножим на и поделим на Получаем: В итоге получили равенство

Теорема 1. Теорема 1. Дано: ABC и A/B/C/ таковы, что AA/ BB/ CC/ = S, AB A/B/ = U, BC B/C/ = V, AC A/C/ = W. Доказать: что W, V, U лежат на одной прямой.

Теорема 2. Теорема 2. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB A/B/ = X, BC B/C/ = Y, AC A/C/ = Z. Доказать: X, Y, Z лежат на одной прямой.

Теорема 3. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ BB/ CC/ = S, AB A/B/ = X, BC B/C/ = Y, AC // A/C/ Доказать: XY//AC

Теорема 4. Теорема 4. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ BB/ CC/ = S, AB // A/B/, BC // B/C/, Доказать: AC // A/C/ Теорема 5. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB // A/B/ , AC // A/C/ Доказать: BC//B/C/

Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым.

Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку А параллельно прямым а и b (см. рис.) Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку А параллельно прямым а и b (см. рис.) Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Теорема 3

В этой задаче первоначальный рисунок В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает. В нашем случае прямые а и в – это прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Тогда точка А является точкой пересечения одной пары соответственных сторон. Ещё одна пара соответственных сторон должна пересекаться в точке, также лежащей на с. Построение, таким образом, сводится к построению двух треугольников, одна пара соответственных сторон которых лежит на прямых а и в. Поэтому на прямых а и в возьмем произвольные отрезки: [С1В1] а, [СВ] в в качестве соответственных сторон, а вторая пара сторон пересекается в точке А.

(С /С) (В/В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А/С/) и (АС). (С /С) (В/В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А/С/) и (АС). (Теорема Дезарга, см. рис.)

Построение: Построение: Берем точки С1, В1 а Берем точки С, В, в S = (СС1) (ВВ1) Проведем произвольную прямую l S О1 = l (С1А) О = l (СА) 6. (В1О1) (ВО) = А1 (АА1) = с – искомая l Доказательство: Рассмотрим С1О1В1 и СОВ. (СС1) (ВВ1) (ОО1) = S по построению. Точки А = (С1О1) (СО) и А1 = (В1О1) (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С1В1) // (СВ), то с // а // в.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке. Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке.

Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как точки пересечения соответственных сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и В'С', то есть прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в точке М. Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа. Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как точки пересечения соответственных сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и В'С', то есть прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в точке М. Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа.

Построение: Построение: 1. Возьмем точки А, В а; А/, В/ b (см. рис.) 2. Точка S = (АА/) (ВВ/). 3. Проведем произвольную прямую l: S l. 4. С1 = (В/М) l, С = (ВМ) l. 5. (АС) (А/С/) = М1 (ММ1) = с – искомая. Доказательство: Рассмотрим АВС и А/В/С/. В них: (ВВ/) (АА/) (СС/) = S (АС) (А/С/) = М1, (ВС) (В/С/) = М, (АВ) (А/В/) = а в = L, следовательно, по теореме 1 точки М, М1 и L лежат на одной прямой.

Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если AC AD : = -1. CB DB Задача. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK1 , AK2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K1K2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку.

Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как показано на рисунке. Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как показано на рисунке. Пусть B1, C1, D1 – проекции точек B, C, D на ось абсцисс. Докажем, что точки A, B1, C1, D1 образуют гармоническую четверку. Отсюда сразу же последует, что точки A, B, C, D также образуют гармоническую четверку. Уравнение окружности запишем в виде (x – a)2 + y2 = R2 (2) где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде y = kx (3) где k – некоторое число. Координаты точек C и D удовлетворяют уравнениями (2) и (3). Если подставить y = kx в уравнение (2), то придем к квадратному уравнению (1 + k2) x2 – 2ax + a2 – R2 = 0 (4)

корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC1 = x1, AD1 = x2. По теореме Виета 2a a2 – R2 x1 + x2 = , x1x2 = , 1+ k2 1 + k2 2x1x2 a2 – R2 откуда = (5) x1+ x2 a Рассматривая прямоугольный треугольник AOK1 , нетрудно a2 – R2 установить, что AB1 = . Поэтому если положить AB1= x0 , a то равенство (5) можно записать в виде 2x1x2 = x0, или x1(x2 – x0) – x2(x0 – x1) =0. x1+x2

Отсюда, учитывая, что Отсюда, учитывая, что x1(x2 – x0) = AC1 * B1D1 , x2(x0 – x1) = AD1 * C1B1 , получаем: AC1 * B1D1 – AD1* C1B1 =0, а это и означает, что точки A, B1 , C1 , D1 образуют гармоническую четверку. 2x1x2 Замечание. Равенство = x0 можно доказать и не прибегая x1 + x2 к рассмотрению треугольника AOK1. В самом деле, соотношение 2x1x2 a2 – R2 2x1x2 = показывает, что величина не зависит от x1+ x2 a x1 + x2 k, т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой уравнением y = kx. Возьмем k таким, чтобы уравнение y = kx было уравнением касательной AK1. Тогда оба корня x1 и x2 квадратного уравнения (1 + k2) x2 – 2ax + a2 – R2 = 0 будут равны абсциссе точки K1 , т.е. будут равны x0.

Но в этом случае Но в этом случае 2x1x2 2x0x0 = = x0 , x1 + x2 x0+x0 2x1x2 а значит, и для любой другой прямой = x0 x1 + x2 Прямая K1K2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности.