Презентация на тему: Трёхгранные и многогранные углы
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д. 900igr.net
Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов
Измерение многогранных углов Рассмотрим вопрос об измерении многогранных углов. Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен .
Трехгранные углы Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180о + 2 SABC. Таким образом, имеем следующую формулу
Многогранные углы Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2 , равное половине площади единичной сферы. Поэтому численной величиной многогранного угла считают половину площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь:
Трехгранные углы тетраэдра Для двугранных углов тетраэдра имеем: , откуда 70о30'. Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15о45'. Ответ: 15о45'.
Четырехгранные углы октаэдра Для двугранных углов октаэдра имеем: , откуда 109о30'. Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38о56'. Ответ: 38о56'.
Пятигранные углы икосаэдра Для двугранных углов икосаэдра имеем: , откуда 138о11'. Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75о28'. Ответ: 75о28'.
Трехгранные углы додекаэдра Для двугранных углов додекаэдра имеем: , откуда 116о34'. Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84о51'. Ответ: 84о51'.
Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра Задача. Найдите трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра – многогранника, поверхность которого состоит из двенадцати ромбов.
Четырехгранный угол пирамиды Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды?
Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, стороны основания – . Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды?
Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 1, боковые ребра – Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды?
