Презентация на тему: Тела вращения. Сфера и шар

Тела вращения Сфера Шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. О- центр сферыR- радиус сферыАВ- диаметр сферы 2R=АВ

Сферу можно получить вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ

Шар Шаром называется тело ограниченное сферой.Центр, радиус и диаметр сферы называются также диаметром шара.

Уравнение сферы Задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая поверхность F, например плоскость или сфера . Уравнение с тремя переменными x, у, z называется уравнением поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки , не лежащей на этой поверхности .

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С (x1; y1; z1)

Расстояние от произвольной точки M (x; y; z)до точки С вычисляем по формуле

Если точка М лежит на данной сфере , то МС=R, или МС2=R2 т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению: R2=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2 Если точка М не лежит на данной сфере , то МС2= R2 т.е. координаты точки М не удовлетворяют данного уравнения.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (x1; y1; z1) имеет вид

Взаимное расположение сферы и плоскости Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центром до плоскости.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Пусть радиус сферы - R, а расстояние от её центра до плоскости a - d

Составим систему уравнений : Подставив z=0 во второе уравнение , получим : х2+у 2=R2-d2

Возможны три случая : 1) d<R, тогда R2-d2>0, и уравнение х2+у 2=R2-d2 является уравнением окружности r = √R2-d2 с центром в точке О на плоскости Оху. В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность .

Ясно, что сечение шара плоскостью является круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е. круг , радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара.

Если секущая плоскость не проходит через центр шара , то d>0 и радиус сечения r = √R2-d2 , меньше радиуса шара .

2) d=R,тогда R2-d2=0, и уравнению удовлетворяют только х=0, у=0, а значит О(0;0;0)удовлетворяют обоим уравнениям ,т.е. О- единственная общая точка сферы и плоскости .

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы , то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3) d>R, тогда R2-d2<0, и уравнению х2+у 2=R2-d2 не удовлетворя-ют координаты никакой точки.

Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.