Презентация на тему: Определенный интеграл
Определенный интеграл
Задача о вычислении площади плоской фигуры Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых , и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией a b
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Теорема о существовании определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Теорема о среднем Если функция непрерывна на то существует такая точка что
Вычисление определенного интеграла
Пример Вычислить .
Вычисление интеграла
Пример
Пример
Несобственный интеграл
Пример . Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) . Этот несобственный интеграл расходится.
Пример Несобственный интеграл
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.
Вычисление площадей
Вычисление площадей В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из уравнений . .
Вычисление площадей Площадь полярного сектора вычисляют по формуле . α β
Примеры Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и
Продолжение Получим
Примеры Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса у о х
Пример Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :
Вычисление длины дуги Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .
Длина дуги в декартовых координатах Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги . Если кривая задана уравнением , то , где c, d–ординаты начала и конца дуги
Длина дуги в полярных координатах Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .
Примеры Вычислить длину дуги кривой от точки до . , тогда
Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .
Вычисление объема тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле .
Вычисление объема тела вращения Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и
Решение Тогда
