Презентация на тему: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Ст. преп., к.ф.м.н.Богданов Олег Викторович 2010

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

ОДУ первого порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция Общее решение: Пример: общее решение:

Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений:-Уравнения с разделяющимися переменными,-Однородные уравнения,-Линейные уравнения,-Уравнение в полных дифференциалах,-и т.д.Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.

Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:                    .Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение:

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов: Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:              Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим(это - уравнение с разделяющимися переменными),- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

Пример:                                                                                                                                                                  - общее решение уравнения

Пример:

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x). Тогда и уравнение приводится к виду:или Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными:затем находим u(x) из уравнения:           

Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками.       Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример:                             Решение:и общее решение уравнения              .

Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим в общее решение                            Решение задачи:              

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида (P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:         Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравненийИз первого уравнения этой системы находим:с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции       (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x.Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

Пример: найти общее решение уравнения Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.

Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

ОДУ высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде :y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет видт.е. будет уравнением (n – k)-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).

Пример: Понизить порядок уравнения:                                                      Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции:Тогда        и уравнение примет вид                   

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравненияне содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:Пример: Понизить порядок уравнения:Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем ,тогда                 . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решенийпоэтому рассматриваем два случая:     

Спасибо за внимание