Презентация на тему: Линия уравнений и неравенств школьного курса математики

Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математикиТема 3

План Общие подходы к изучению уравнений и неравенствФормирование представлений об общих методах уравненийМетод уравнений и неравенств в обучении математике

Подходы к определению понятия уравнения Функциональный подходУравнением с одним неизвестным называется равенство вида f(x) = g(x)Число x0 называется корнем уравнения, если это число принадлежит области допустимых значений неизвестного и справедливо числовое равенство f(x0) = g(x0)

Подходы к определению понятия уравнения Предикатный подход (через высказывательную форму)Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнениемЗначение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения

Подходы к определению понятия уравнения При любом из подходов к определению уравнения суть действия решения уравнения трактуется одинаково: решить уравнение – значит найти все его корни или докадать, что их нет

Связь понятия «уравнение» с понятием «тождество» Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества)Уравнение вида f(x) = g(x) называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества)

Основные тенденции в изучении уравнений Более раннее систематическое изучение уравнений (начиная с начальной школы);Расширение объема и сложности решаемых уравнений младшими школьниками;Вариативность последовательности изучения отдельных вопросов линии.

Два основных процесса, сопровождающих обучение Постепенное возрастание классов уравнений и неравенств, приемов их решения, преобразований. Применяемых при решении.Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих сприемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

Смысл выделения основных классов уравнений и неравенств За счет стандартизации формы задания «общего вида» уравнения можно записывать ответы формулой или привести простое описание действий, приводящих к решениюИзучение каждого из классов имеет определенную нагрузку в формировании понятия «решение уравнений», постепенно обогащает алгоритмический и эвристический опыт учащихся.

Общая идея решения любого уравнения, не являющегося простейшим уравнением какого-либо типа Решение любого уравнения осуществляется в два этапа:Преобразование данного уравнения (неравенства) к простейшему виду – эвристический этап;Решение простейшего уравнения (неравенства) по известным формулам, алгоритмам или правилам – алгоритмический этап.

Основное направление процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств Организация имеющихся у учащихся знаний и опыта в единую целостную систему, позволяющую распознавать возможности сведения более сложных уравнений к простейшим известных типов.

Задания на формирование умения определять способ решения уравнения Для группы уравнений указать возможный способ решения (сами решения не приводить);После предварительного анализа внешнего вида уравнения и способа решения решить уравнение

Основные приемы преобразования уравнений Раскрытие скобок;Перенос слагаемых;Приведение подобных слагаемых;Умножение обеих частей уравнения на выражение или число, отличное от нуля;Возведение в степень

Основные методы решения уравнений Разложение на множители;Замена переменных;Сведение к системе уравнений и неравенств;Функциональный;Графический.

С точки зрения деятельностного подхода к обучению именно формированию обобщенных приемов решения уравнений и следует обратить внимание.

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 5-6 классОбобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной.Обобщенный прием решения уравнений с модулем

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 7-9 классОбобщенный прием решения неравенств первой степени с одной переменной и их систем.Обобщенный прием решения уравнений и неравенств второй степени с одной переменной.Обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной.Обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной.Обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной.

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 10-11 классОбобщенный прием решения иррациональных неравенств с одной переменной.Обобщенный прием решения показательных уравнений и неравенств.Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств. Обобщенный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Обобщенный прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной Определить, является ли уравнение (неравенство) линейным, т.е. вида ах + b = 0 (ах + b> 0), а ≠ 0 если «да», то если «нет», то

2. Установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители 3. Привести с помощью выбранных преобразований уравнение (неравенство) к линейному4. Найти х = - b/а (х > - b/а, а >0 и х < - b/а, а < 0 ).5. Записать ответ.

Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений решение простейших уравнений данного вида;анализ действий, необходимых для их решения;вывод алгоритма (правила, формулы) решения и запоминание его;решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;анализ действий, необходимых для их решения;формулировка частного приема решения;

Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения;применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Метод «уравнений и неравенств» в обучении математике Метод уравнений и неравенств является главнымсредством для овладения учащимися основамиматематического моделирования, т.к. В нем наиболее ярко и выпукло отражаются все характерные черты процесса математического моделирования;Уравнения, неравенства и их конструкции являются моделями очень многих явлений.

Цель изучения метода «уравнений и неравенств» формирование у учащихся умений математизации реальных ситуаций, установление внутрипредметных и межпредметных связей,формирование системности знаний

Суть метода «уравнений и неравенств» Установление основных связей и зависимостей, характеризующих явление или процесс (т.е. построение словесной модели явления или процесса).Перевод словесной модели на язык математики, при котором выявленные связи и зависимости записываются в виде уравнений, неравенств или из конструкций (т.е. построение математической модели).Решение поставленной задачи в рамках математической модели: решение уравнений, неравенств или их конструкций.Перевод решения на язык, на котором была сформулирована задача (т.е. установления соответствия полученного результата исходному явлению).

Две стороны любого метода Объективная – связанная с системой знаний, без которой метода не существует.Субъективная – связанная с системой действий, реализация которой ведет к достижению результата, и средствами осуществления этих действий.

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знания об уравнениях, неравенствах и их конструкциях, а именно :понятия уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств, корня уравнения, решения неравенства, равносильных уравнений или неравенств;свойства числовых равенств и неравенств;виды уравнений и неравенств и способы их решения;

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знание зависимостей между основными величинами, Свойств геометрических фигур и других объектов, изучаемых в школьном курсе математики.Умения, связанные с решением уравнений и неравенств, а именно:получение уравнений или неравенств, равносильных данному;выбор рационального способа решения;

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Умение составлять уравнения или неравенства в соответствии с свойствами объектов или зависимостями между величинами;Умение интерпретировать результаты решения уравнений или неравенств в соответствии с условиями задачи

Субъективная сторона метода «уравнений и неравенств» Выбор и обозначение одной или нескольких неизвестных величин;Выражение через выбранные величины других неизвестных величин с учетом связей и зависимостей, зафиксированных в словесной модели;Составление решающей модели (уравнения, неравенства или их конструкций);Решение составленной модели;Исследование полученного результата.

Методические задачи, связанные с овладением учащимися методом «уравнений и неравенств» Обеспечить понимание учащимися сути метода и овладение ими действиями по применению метода;Обучить применению метода для решения различных видов задач (сюжетных, геометрических, прикладных) .

Этапы процесса формирования метода «уравнений и неравенств» Мотивационный этап (принятия учебной задачи)Этап усвоения сути методаЭтап формирования компонентов методаЭтап обучения применению метода к типовым задачам (тип модели определен однозначно)Этап обучения применению метода для решения широкого круга задач (формирование умения рационального выбора вида решающей модели)

Типы задач школьного курса математики, решаемые методом «уравнений и неравенств» Формирование умений решать задачи методом«уравнений и неравенств» осуществляется главным образом при решении сюжетных задач, среди которыхпо признаку «тип решающей модели» выделяют Задачи на составление уравнения;Задачи на составление неравенств;Задачи на составление систем уравнений;Задачи на составление систем неравенств;Задачи на составление комбинированных систем;Задачи на оптимизацию.

Мировоззренческое значение метода «уравнений и неравенств» Возможность установления межпредметных связей: при решении прикладных физических, экономических и т.п. задач выбор решающей модели связан с предварительным установлением и использованием физических, экономических и т.п. свойств объектив и явлений,появляется возможность показать проникновение математического знания в другие наукиВозможность установления внутрипредметных связей: через выделения того общего, что связывает все методы и все составные части математики – алгебру, геометрию, начала математического анализа

Благодарю за внимание!