Презентация на тему: Квадратные уравнения 9 класс

Квадратные уравненияАвтор работыУченик 9Б классаТюнин Станислав.

Посредством уравнений, теоремЯ уйму всяких разрешал проблем. ( Чосер, английский поэт,средние века.)

Цель работы: Изучить тему «Квадратные уравнения».Исследовать зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

План работы: Изучить теорию вопроса: Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Приёмы рационального решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Квадратным уравнением называется уравнение вида a x ^ 2 + b x + c = 0где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0. a x^2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

Классификация . Квадратные уравнения. неполное полноеа х ^ 2 + в х + с = 0 c = 0; a x ^ 2 + b x = 0 b = 0; c = 0;a x ^ 2 = 0

«ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ. Д = в^2 - 4 а с Уравнение имеет два действительныхкорня. Уравнение имеет два равныхдействительных корня. Уравнение не имееткорней. х1 = (- в- √ Д )/ 2а;х 2= (- в + √ Д )/2а х1,2 = - в / 2а

Приёмы устного решения квадратных уравнений.a x ^2 + b x + c = 0.Основа: f (x) = a x ^2 + b x + c ; f (1) = a + b + c; f (- 1) = a - b + c. 1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x = 1, а второй x = c/a. 2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x = - 1, а второй x = - c/a.

3. Если a = c, b = a^2 + 1, то один корень уравнения x = - a, а второй x = -1/a.4. Если a = c, b = -(a^2 + 1), то один корень уравнения x = a, а второй x = 1/a.

Теорема Виета. Если х1 и х2 корни приведённого квадратного уравнения х^2 + px + q = 0 , то x1 + x2 = - p, а x1 x2 = q.Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х^2 + px + q = 0.Обобщённая теорема: Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х^2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда x1 + x2 = - p, x1 x2 = q.Следствие: х^2 + px + q = (х – х1)(х – х2)

Исследование знаков корней квадратного уравнения х^2 + px + q = 0, если Д > 0.

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Методы решения полных квадратных уравнений. ax^2 + bx + c = 0 Общая формула корней:x1,2 = (-b ± √b^2 – 4ac)/2a Если a + b + c = 0,то x1 = 1; x2 = c/a. Теорема Виета:x1 + x2 = -b/a,х1 x2 = c/a Если a ± b + c ≠ 0, то решить уравнение x^2 + bx + c = 0 и разделить полученные корни на a. Общая формула с чётными коэффициентами:х1,2 = (-b/a ± √(b/2)^2 – ac)/a Если a – b + c = 0,то x1 = - 1; x2 = - c/a.

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным. af^2(x) + bf(x) + c = 0.Метод введения новой переменной:Замена: f(x) = t.Решаем уравнение:at^2 + bt + c = 0.3) Решаем уравнение:f(x) = t. Биквадратное уравнение:ax^4 + bx^2 + c = 0. Уравнение с переменной в знаменателе:p(x) / q(x) = 0.p(x) = 0,q(x) ≠ 0. Рациональное уравнение f(x) = q(x), где f(x) и q(x) – дробные выражения.Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;3. Решить получившееся целое уравнение;4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x^2 + bx = cпри всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Литература. Алгебра. 8 класс. Под редакцией Теляковского С. А. М., Просвещение, 2002 г.Сборник задач по алгебре. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. М., 1996 г.3. Алгебра.Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. М., Просвещение, 2003 г.

Научился сам - научи другого.