Презентация на тему: Затухающие колебания
Тема: Затухающие колебания 26.1. Свободные затухающие механические колебания;26.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания; 26.26. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре;26.27. Автоколебания;
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается.Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например, маятник). Тогда сила трения (или сопротивления) , r - коэффициент сопротивления, - скорость движения.Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси Хmax = - kx – rx, где kx - возвращающая сила, rx - сила трения.или md2x/dt2 = - kx - rdx/dt d2x/dt2 + (r/m)dx/dt + (k/m)x = 0.
Введем обозначения r/2m = k/m = 02Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка запишется d2x/dt2 + 2dx/dt + 02x = 0 (26.1) Решение уравнения (26.1) имеет вид ( при 0 )x = A0е-tcos(t +φ0) (26.2) A0 и 0 - определяются из краевых условий (начальных и граничных) задачи. и - из самого уравнения. - мы сами обозначили. Найдем . Здесь оно уже не равно 0 , т.е. 0 Подставим (26.2) в (26.1), но сначала найдем первую и вторую производные от (26.2):dx/dt = -A0βe-tcos(t + 0) - A0e -tsin (t + 0);d2x/dt2 = 2A0e-tcos(t + 0) + A0e-tsin(t + 0) ++ A0e -tsin(t + 0 ) - 2A0e -tcos (t + 0 ).
Подставим эти значения в (26.1) и сократим на A0е-t2cos(t + 0 ) + 2sin(t + 0) - 2cos(t + 0) - 22cos(t + 0)- 2sin(t + 0)+02cos(t + 0) = 0Сократим на cos(t + 0 ) и выразим - 2 - 2 + 02 = 0 2 = 02- 2 =02- 2 - круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение (26.1) будет только при 0Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения , , 0 будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы 0 =k/m; = r/2m; = k/m - (r/2m)2.Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть - циклической (повторяющейся круговой) частотой можно лишь условно. По этой
же причине и = 2/ = 2/ 02 - 2 - называется условным периодом затухающих колебаний.26.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затуханияНайдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t +TA(t)/A(t+T) = A0e- t/A0e- (t+T) = e-t/(e-t e - t) = eT - коэффициент затухания.Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания. = ln A(t)/A(t + T) == lneT = T (З.За)
Выясним физический смысл и Обозначим через -время, в течение которого амплитуда Ауменьшается в e раз. A0 /AΊ = e = e1, откуда β = 1, β = 1/Следовательно, коэффициент затухания β - есть физическаявеличина, обратная времени, в течении которого амплитудауменьшается в е раз. - время релаксации.Пусть Nе число колебаний, после которых амплитудауменьшается в e раз, - время этих колебаний,тогда = ΝΤ, Τ= /Ν и = βΤ = / N = 1/N, = 1/NСледовательно, логарифмический декремент затухания естьфизическая величина, обратная числу колебаний, по истечениюкоторых амплитуда А уменьшается в e раз. Если = 0,01, то N = 100.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина θ = / = Ne, (З.Зб)Называемая добротностью колебательной системы. Как видно из её определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.Подстановка функции (26.2) и её производной в выражение для полной энергии колеблющейся системы E = ½kx2 + ½m2 приводит после преобразований к формуле (26.26)
Где = arctg(/). График этой функции изображен на рис. 26.2.Убывание энергии обусловлено работой силы сопротивления среды . Мощность, развиваемая этой силой, равна (–r)()= –r2. Т.о.,dE/dt = –r2.Отсюда вытекает, что в тех точках кривой E(t) где = 0, касательная к кривой параллельна оси t. В остальных точках dE/dt < 0. При малом затухании ( << 0 ) слагаемым, содержащим синус, в формуле (26.26) можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону Е = Е0е-2t, (26.27)где Е0 = ½ kA02 – значение энергии в начальный момент времени. К тому же результату можно прийти, если заменить определяемое формулой (26.26) мгновенное значение E(t) его средним значением за время от t – T/2 до t + T/2 (Т – период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель ехр(-2 t) в течение промежутка Т
остается постоянным. Продифференцировав выражение (26.27) по t, получим скорость возрастания энергии системы: dE/dt = - 2tЕ0е-2t = - 2Е. Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии: -dE/dt = 2Е. (26.5)Если энергия мало изменяется за время, равное периоду колебаний, убыль энергии за период можно найти, умножив выражение (26.5) на Т: -Е = 2ТЕ(напомним, что Е обозначает приращение, а -Е – убыль энергии). Наконец, приняв во внимание формулы (26.26а) и (26.26б), придем к соотношению Е/(- Е ) = θ/2, из которого следует, что при слабом затухании колебаний, добротность с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний. Из формулы = 2/02 - 2 следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При = 02 период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение
перестает быть периодическим. При > 0 корни характеристичес-кого уравнения становятся вещественными и решение дифферен-циального уравнения (26.1) оказывается равным сумме двухэкспонент: х = С1е-1t + С2е-2t , где 1= - +i, а 2= - - i, а С1 иС2 - вещественные константы, значения которых зависят от нача-льных условий (от х0 и 0). Следовательно движение носитапериодический (непериодический) характер – выведенная из поло-жения равновесия система возвращается в положение равновесия,не совершая колебаний. На рис. 26.26 показано три возможныхспособа возвращения системы к положению равновесия приапериодическом движении. Каким из этих способов приходитсистема в положение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изображаемое кривой В, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением х0, к положению равновесия с начальной скоростью 0, определяемым условием (26.6)
Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной изположения равновесия системе сообщить достаточно сильныйтолчок к положению равновесия. Если, отведя систему изположения равновесия, отпустить ее без толчка (т.е. с 0 = 0) илисообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что 0 окажетсяменьше определяемой условием (26.6)), движение будетПроисходить в соответствии с кривой А на рис. 26.26.26.26. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуреДифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре при (R 0) имеет вид (см. формулу1.6.2 в 1-й лекции)Используя формулу (1.6.27) 0 = 1/LC и принимая коэффициент затухания
= R/2L (26.26.1)Дифференциальное уравнение можно записать следующим образом (26.26.2)Из выражений (26.1) и (26.2) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону Q = Qmе-tcos(t + 0) (26.26.3)С частотой =02- 2 = 1/LC – R2/27L2, (26.26.27)меньшей собственной частоты контура 0, а периодом больше, чем период собственных колебаний. При R = 0 формула (26.26.2) переходит в формулу (1.6.2а).Логарифмический декремент затухания определяется формулой = lnA(t)/A(t + T) = lneT = T, а добротность колебательного контура (26.26.5)
В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при = обращается в бесконечность, т.е. Движение перестает быть периодическим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t . Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим. 26.27.Автоколебания При затухающих колебаниях энергия системы расходуется напреодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыльэнергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергиисистемы может осуществляться за счет толчков извне, однако этитолчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, впротивном случае они могут ослабить колебания и дажепрекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаясясистема сама управляла внешним воздействием, обеспечиваясогласованность сообщаемых ей толчков со своим движением.Такая система называется а в т о к о л е б а т е л ь н о и, а
в качестве примера автоколебательной системы рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом — анкером (рис. 26.27). На концах анкера имеются выступы специальной формы, называемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда маятник находится вблизи
среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку. Посредством этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.
