Презентация на тему: Производная функции

Производная функции Определение производнойГеометрический смысл производнойСвязь между непрерывностью и дифференцируемостьюПроизводные основных элементарных функцийПравила дифференцированияПроизводная сложной функцииПроизводная неявно заданной функцииЛогарифмическое дифференцирование

Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).Аргументу x придадим некоторое приращение :Найдем соответствующее приращение функции:Если существует пределто его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Определение производной Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.

Геометрический смысл производной Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом:Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:Функция y = f(x) – непрерывна.Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:

Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

Пример

Пример Вычислить производную функцииДанную функцию можно представить следующим образом:

Производная неявно заданной функции Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.

Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.Функция называется степенно – показательной.Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.