Презентация на тему: Задачи на делимость натуральных чисел

Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа : Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа : где y - количество делителей - показатель степени в разложении на простые множители-

6) Найдем показатели степеней в разложении 6) Найдем показатели степеней в разложении числа A:

НАЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА 11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ВСЕ ЦИФРЫ ОТ 0 ДО 9? НАЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА 11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ВСЕ ЦИФРЫ ОТ 0 ДО 9?

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.

1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. 1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. 9+7+3+1=25 , 8+6+4+2+0=20 , 25-20=5 2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры. Ответ: Да.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB=CD. МОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A+B+C+D БЫТЬ ПРОСТЫМ? НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB=CD. МОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A+B+C+D БЫТЬ ПРОСТЫМ?

Решение. Выразим переменную а через остальные переменные из равенства : . Подставим этот результат в выражение

Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n. Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.

В этом случае можно утверждать, что В этом случае можно утверждать, что ( , аналогично – c n). Следовательно, число a+b+c+d=mn, где m,n>1. Значит, это число не простое. Ответ: это число не может быть простым.

НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13. НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13.

Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b 3. Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13 Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

НАЙДИТЕ ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДНЯЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЦИФРА КОТОРЫХ 0 И КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РОВНО 15 РАЗЛИЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ (ВКЛЮЧАЯ ЕДИНИЦУ И САМО ЧИСЛО). НАЙДИТЕ ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДНЯЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЦИФРА КОТОРЫХ 0 И КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РОВНО 15 РАЗЛИЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ (ВКЛЮЧАЯ ЕДИНИЦУ И САМО ЧИСЛО).

Решение 1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных делителей и кол-во делителей определяется по формуле p=(m+1)(n+1), где m, n кратности простых делителей.

2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5. 2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5. 3. 15=(m+1)(n+1); m=2, n=4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям). Существуют 2 числа и Ответ: 2500; 400

НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОТОРЫХ РАВНА 55. НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОТОРЫХ РАВНА 55.

Решение Решение Пусть m и n натуральные числа и , тогда (m-n)(m+n)=5∙11 или (m-n)(m+n)=55∙1. Рассмотрим системы: 1) 3) 2) 4) 2 из 4 систем не имеют решения в натуральных числах, следовательно m=8, n=3 и m=28, n=27. Ответ: m=8, n=3 и m=28, n=27.