Презентация на тему: Курс лекций по сопротивлению материалов

Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 1.2Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в ХабИИЖТе, СГУПСе и МИИТе (1965-2006 гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме двух семестров.Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.Завершение – Esc.Замечания и предложения можно послать по e-mail: [email protected] .

Содержание Лекция 9. Краткие сведения о напряженном и деформированном состояниях в точке. Виды напряженных состояний. Анализ плоского напряженного состояния. Напряжения на наклонных площадках. Лекция 10. Главные напряжения и положения главных площадок. Максимальные касательные напряжения. Понятие о круге Мора для напряжений. Главные деформации.Лекция 11. Геометрические характеристики поперечных сечений. Статические моменты. Определение координат центра тяжести поперечного сечения. Осевой, центробежный и полярный моменты инерции. Моменты инерции простейших фигур. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей. Лекция 12. Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции. Понятие о радиусе инерции.Лекция 13. Изгиб балок. Основные допущения. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Момент сопротивления при изгибе. Условие прочности по нормальным напряжениям. Понятие рационального сечения при изгибе. Лекция 14. Вывод формулы касательных напряжений при поперечном изгибе. Распределение касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений. Условие прочности на сдвиг. Понятие центра изгиба.Лекция 15. Расчеты на прочность по касательным напряжениям и усилиям сдвига. Составные балки (клееные, сварные и заклепочные соединения). Анализ напряженного состояния при изгибе. Изгиб стержня в упруго-пластической стадии.Лекция 16. Понятие о чистом сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Связь между модулями упругости при растяжении и сдвиге. Кручение стержней круглого поперечного сечения. Напряжения и перемещения. Анализ напряженного состояния.Лекция 17. Статически неопределимые задачи при кручении. Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения.Рекомендуемая литература1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов для вузов. М.: Высшая школа. 1995, 2001 г. 560 с.2. Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. Александрова А.В., М.: Стройиздат. 1977г. 335 с.3. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ. Изд. МИИТ.4. Лабораторные работы по сопротивлению материалов (Методические указания под ред. Александрова А.В., часть 1, МИИТ, 1974 г.)

Лекция 9 Напряженное состояние в точке - При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малыйобъемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения,например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx, xy, xz .Этот элемент можно по разному ориентировать в пространстве. При поворотах элемента нормальные и касательныенапряжения на его наклонных гранях будут принимать новые значения.Представляет интерес исследовать, как изменяются эти напряжения от изменения ориентации элемента. Это позволит найти наклонные площадки, по которым напряжения принимают максимальные и нулевые значения.Рассмотрим эту проблему вначале для более простого случая – плоского напряженного состояния.Плоское напряженное состояние – такое состояние, при котором две параллельные грани элементасвободны от напряжений, т.е. на них отсутствуют и нормальные и касательные напряжения. Такое напряженноесостояние возникает в тонких пластинах, поверхности которых свободны от нагрузок, на незагруженной поверхности тел,при изгибе балок, кручении валов.Пусть, например, по площадкам z напряжения отсутствуют:Ниже будет показано, в этом случае напряжения zx и zу также должны отсутствовать.Теперь элемент можно представить в виде его проекции на плоскость x, y. На рисунке показаныположительные направления напряжений, соответствующие правилам:положительные нормальные напряжения направлены в сторону внешней нормали соответствующей грани,т.е. они вызывают деформацию растяжения элемента.2.положительные касательные напряжения вращают элемент по часовой стрелке (при взгляде навстречу оси z).В общем случае, напряжения в деформированном состоянии меняются от точки к точке, т.е. являются функциямикоординат. Здесь при рассмотрении бесконечно малого элемента можно считать, что напряженное состояниеоднородное и напряжения по каждой из граней постоянные и на параллельных гранях элемента равны между собой.Выделенный элемент должен находиться в равновесии и удовлетворять уравнениям равновесия для произвольной плоской системы сил –равнодействующих по каждой из граней приложенных напряжений:Суммы проекций на координатные оси тождественно равны нулю.Составим сумму моментов относительно левого нижнего угла:Получен закон парности касательных напряжений: Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и противоположны по знаку. Таким образом, показанные направления касательных напряжений на рисунке, посвященном правилам знаков, не соответствуют равновесному состоянию элемента. Возможные, правильные направления касательных напряжений:

3. заменим отброшенную часть внутренними усилиями, которые представимв виде компонент напряжений - нормального и касательного (все напряженияпоказаны положительными),После деления уравнений на dydz, умножения на cos, подстановки закона парности касательных напряжений и переноса в правую часть получим: Или используя известныетригонометрическиеформулы двойного угла: Получены формулы для определения напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения x, y и yx = - xy. Определим, каковы будут напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной наклонной площадке: Из сравнения выражений для касательных напряжений вновь получаем закон парности касательных напряжений: +900 = - . Складывая выражения для нормальных напряжений получаем закон постоянствасуммы нормальных напряжений в любых взаимно перпендикулярных площадках:Из постоянства суммы нормальных напряжений следует, что при повороте этих площадок приращения (изменения)нормальных напряжений равны и противоположны по знаку:Соответственно, если на одной из площадок нормальные напряжения достигает максимума,то на второй площадке они приходят к минимуму.

Лекция 10 Главные напряжения - При расчете конструкций на прочность необходимо определить величину максимальных напряжений.Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют –главными площадками.Для определения положения главных площадок достаточно положить нулю первую производную нормальных напряжений по углу наклона:Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражениеопределяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе главные площадки взаимноперпендикулярны. Заметим, что производная нормальных напряжений в наклонной площадке по углу наклонаоказывается равной удвоенной величине касательных напряжений по этой площадке:Таким образом, на главных площадках касательные напряжения обращаются в нуль.Для определения величины максимальных и минимальных нормальных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставитьв исходное выражение для нормальных напряжений, но проще непосредственно использовать следующие тригонометрические формулы: Поскольку угол для другой главной площадкиотличается от первой на 900, то синус и косинусдвойного угла изменят знак на противоположный,что приведет к изменению знака второго слагаемого :

Лекция 10 (продолжение – 10.2) Максимальные касательные напряжения - Существуют площадки, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений. Для определения их положения достаточно положить нулю первую производную касательных напряжений по углу наклона:Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражение определяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе площадки взаимно перпендикулярны. Хотя в этих площадках в общем случае нормальные напряжения на обращаются в ноль, площадки, в которых касательные напряжения максимальные,называют площадками сдвига.Определим угол между площадкой сдвига и главной площадкой.Сравним формулы для углов наклона главных площадок и площадок сдвига:Поскольку правые частиобратные друг другу, то Таким образом, площадки сдвига повернуты относительно главных площадок на угол 450.Для определения величины максимальных касательных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставить в исходное выражениедля касательных напряжений, но проще принять в качестве исходного состояния главные площадки и перейти к площадкам сдвига: При подстановке угла 1350 или -450 (вторая площадка сдвига) получим тот же результат, но с обратным знаком. Таким образом, вновь соблюдается закон парности касательных и в общем случае можно записать:Подставим выражениядля главных напряжений:Понятие о круге Мора для напряжений- Существуют графический способ определения положений главных площадок и напряжений, а также напряжений по любым другим площадкам. Способ основан на том, что зависимость между нормальными и касательными напряжениями описывается уравнением II порядка, а именно уравнением окружности:

Лекция 10 (продолжение – 10.3) Построение круга Мора и его использование - Из сравнения уравнений координаты центра круга Мора и радиус равны: Точка пересечения направлений площадокс окружностью (точка C) называетсяполюсом для данного исходного состояния,и определяет направление любойнаклонной площадки, напряженноесостояние в которой изображается точкойкруга Мора, например, точкой M: Напряженное состояние по площадке y характеризуется точкой B на кругенапряжений.

Лекция 10 (продолжение – 10.4) Главные деформации - Подобно тому, как определялись напряжения на наклонных площадках, могут быть определены деформации. Выражения деформаций в новой системе координат, повернутой относительно начальной на некоторый угол, аналогичны выражениям для напряжений. Достаточно подставить вместо нормальных напряжений линейные деформации, а вместо касательных напряжений – половины углов сдвига:Так же, как и для напряжений, существуют такие площадки, для которых отсутствуют углы сдвига, а линейные деформации принимаютмаксимальные значения. Эти площадки и линейные деформации называются главными. Для их определения используются формулы,аналогичные полученным для напряжений:

Лекция 11 Геометрические характеристики поперечных сечений - Величина нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня зависит от площади этого сечения. Таким образом, площадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение при растяжении (сжатии). В случае других видов напряженно-деформируемого состояния (изгиб, кручение) напряжения зависят не от площади, а от некоторых других геометрических характеристик поперечного сечения.Иерархия геометрических характеристик устанавливается видом подинтегрального выражения и представляется следующей:Площадь поперечного сечения:Статические моменты площади поперечного сечения:Статические моменты используются при определении положения центра тяжести:Определение координат центра тяжести. Методы определения положения центра тяжести плоских фигуррассматривались в курсе теоретической механики,например, метод разбиения:Здесь xi, yi – координаты центров тяжести простых фигур, для которых они известны или легко находятся.Напомним процедуру определения положения центра тяжести:1. выбрать произвольную (начальную) систему координат x, y;2. разбить заданную фигуру на более простые фигуры.3. вычислить статические моменты и использовать формулы координат центра тяжести.Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Можно показать, что относительно центральныхосей статические моменты обращаются в ноль.Пример 1 – Определить положение центра тяжести уголкового поперечного сечения.1. Выбираем систему координат x, y с началом в нижнем левом углу сечения.2. Разбиваем фигуру на два прямоугольника, вычисляем площадии координаты центров тяжести каждого:3. Вычисляем статические моментыи координаты центратяжести всего сечения:

Лекция 11 (продолжение – 11.2) Моменты инерции площади используются при определении напряжений при изгибе и кручении.Можно показать, что центробежный момент инерции относительно осей, одна из которых совпадает с осью симметрии,равен нулю. В самом деле, в этом случае элементарной площадке dA с координатами x, y всегда будет соответствовать такая же площадкакоординатами –x, y или x, -y. Суммирование (интегрирование) произведений xydA даст нуль.Далее будет показано, что для любой, в том числе несимметричной, фигуры можно найти такое положение осей, при котором центробежныймомент обращается в нуль.Известно, что центр тяжести прямоугольника находитсяна пересечении осей симметрии (xC = b/2, yC = h/2).Для вычисления моментов инерции относительноцентральных осей достаточно считать, что координатаy измеряется от центральной оси xC и изменить пределыинтегрирования:

Лекция 11 (продолжение – 11.3) Моменты инерции площади составных сечений вычисляются , так же как и при вычислении координат центратяжести, методом разбиения на простые фигуры, для которыхизвестны или легко вычисляются координаты центров тяжести имоменты инерции.Например, момент инерции кольцевого сечения может бытьвычислен как разность моментов инерции круглого сплошногосечения радиуса R и такого же сечения, но радиуса r. Заметим, что при сложении моментов инерции по каждой изкоординатных осей для каждой из фигур моменты инерциидолжны вычисляться относительно осей, являющихся общимидля рассматриваемого сечения и всех составляющих фигур.Отсюда следует необходимость располагать формулами,позволяющими переходить от одних осей к другим.

Лекция 12 Главные оси и главные моменты инерции – Полученные зависимостипоказывают, что при изменении угла поворота осей значения моментов инерции изменяются,при этом сумма осевых моментов инерции остается постоянной.Это означает, что можно определить такое положение осей, при котором один из осевых моментовдостигает максимального значения, а другой – соответственно минимального значения:Максимальные и минимальные осевые моменты инерции называются главными моментами инерции, а оси, относительно которых они вычисляются, – главными осями.Для определения положения главных осей достаточно положить нулю первую производную осевого момента инерции по углу поворота:

Лекция 12 (продолжение – 12.1) Для определения величины максимальных и минимальных моментов инерции (главных моментов инерции) надо найти значения угла черезarctg(…) и подставить в исходное выражение для осевых моментов инерции, или непосредственно использовать тригонометрические формулыдвойных углов, как это было сделано, например, при определении главных напряжений (лекция 10). Здесь попробуем чуть иначе.Представим осевой момент в виде: Замечание. Полученные формулы для моментов инерции,связанные с поворотом осей, а также для главных моментовинерции, практически аналогичны по структуресоответствующим формулам для нормальных и касательныхнапряжений по наклонным площадкам и для главныхнапряжений. Отсюда можно заключить, что положения осей,соответствующих экстремальным значениям моментовинерции и сами значения можно находить с помощью кругаМора, построенного для моментов инерции. Здесь же проиллюстрируем характер изменения моментовинерции при последовательном повороте осей в диапазоне0 - 2 (графики построены в системе MathCAD):Хорошо видно, что при достижении осевыми моментамиинерции максимальных и минимальных значенийцентробежный момент инерции обращается в ноль.А при достижении центробежным моментом инерциимаксимального значения (при повороте от главных осейна 45о) осевые моменты становятся равными между собой.

Лекция 12 (продолжение – 12.2) Радиус инерции – есть величина, связывающая момент инерции с площадью поперечного сечения и определяемая из равенств:Радиус инерции представляет собой расстояние от рассматриваемой оси до той точки, в которой условно можно сосредоточитьвсю площадь поперечного сечения. Эта величина характеризует насколько хорошо “развито” сечение, как далеко отстоят от осиотдельные области сечения, что в свою очередь характеризует экономичность сечения при изгибе и сжатии с изгибом.Радиусом инерции удобно пользоваться при оценке гибкости сжатых стержней.Конечно для этого радиусы инерции предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по формулам: Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называютсяглавными радиусами инерции и определяются по формулам: Вычисление моментов инерции сложных фигур – выполняется в следующем порядке:Сечение разбивается на части, для которых известны координаты центров тяжести и моменты инерции или легко находятся.Выбираются начальные оси, относительно которых вычисляются координаты центра тяжести сечения.Вычисляются координаты центра тяжести сечения.Проводятся центральные оси (проходящие через центр тяжести сечения), относительно которых вычисляются моменты инерции.Вычисляются осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно центральных осей.Вычисляются главные центральные моменты и определяется положение главных осей. Пример 1 – Определить главныецентральные моментыи положение главных осейуголкового поперечного сечения.Пример дается в виде документав среде MathCAD. Его можноиспользовать для любого другогосоставного сечения.

Лекция 13 Изгиб балок. Основные допущения:Продольные волокна стержня (параллельные его оси) испытывают лишь деформации растяжения-сжатия и не оказывают давления друг на друга (гипотеза об отсутствии сдавливания продольных волокон).2. Каждое поперечное сечение стержня, плоское до деформаций, остается плоским и нормальнымк деформированной оси стержня после деформации (гипотеза плоских сечений).Первая гипотеза пренебрегает влиянием нормальных напряжений σx и σy на продольную деформацию элемента,вторая – деформациями сдвига. Обе гипотезы подтверждаются экспериментально на основной части длины стержняВ общем случае балка может испытывать изгиб под действием изгибающих моментов относительно осей x и y.Если один из них равен нулю, а другой лежит в главной плоскости сечения (плоскости, проходящей через ось стержняи одну из главных центральных осей инерции) , то такой изгиб называется плоским изгибом. Если при этом изгибающий момент постоянный,и это означает отсутствие поперечной силы, то такой изгиб называется чистым изгибом. Нормальные напряжения при чистом изгибе – Как указывалось ранее, задача определения напряжений является статически неопределимой, для решения которой необходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечниями и заменим действиеотброшенных частей нормальными напряжениями. Под их действием элемент находится в равновесии. Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям было получены интегральныесоотношения, связывающие нормальное усилие и изгибающий момент с нормальными напряжениями:Замечание: Знак минус учитывает правилознаков для изгибающего момента и напряжений.Последнее указывает на то, что в сечении возникают напряжения разного знака и следует предполагать,что существуют волокна, в которых напряжения равны нулю (нейтральная ось). Из этих соотношений найти напряжения и положение нейтральной оси пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по высоте сечения неизвестен.2. Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений, продольные волокна испытывают деформациирастяжения-сжатия, пропорциональные расстоянию от нейтральной оси. Нейтральная ось, как ицентральная ось стержня, изгибается и имеет радиус кривизны (т. А – центр кривизны).Абсолютное удлинение волокна, находящегосяна произвольном расстоянии от нейтральнойоси, из подобия треугольников равно:

Лекция 13 (продолжение – 13.2) Момент сопротивления при изгибе – Из формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее:При симметричном сечении относительно нейтральной оси абсолютныевеличины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений равныи могут быть определены по формуле: В других случаях необходимо специально искать ymax , но формула остается в силе.Величина, зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления:С использованием осевого момента сопротивления максимальные напряжения вычисляются как:Моментом сопротивления удобно пользоваться при расчете на прочность (подбор сечения) балки при изгибе.Конечно для этого моменты сопротивления предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по предыдущей формуле. Во всех случаях, кроме круглого сечения, следует использовать моменты сопротивления, соответствующие ориентацииПлоскости действия изгибающего момента. Например, при действии на балку прямоугольного сечения момента My при вычислении максимальных нормальных напряжений необходимо использовать Wy:Максимальные напряжения не должны превышатьрасчетных или допускаемых напряжений.Отсюда при подборе сечения определяется требуемаявеличина момента сопротивления для прокатных сеченийили характерных размеров для других сечений:

Лекция 13 (продолжение – 13.3) Понятие рационального сечения при изгибе – Из формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении зависят от величины осевого момента инерции или осевого момента сопротивления: При изменении размеров сечения изменяются как осевой момент сопротивления, так площадь сечения. При этом величина осевого момента сопротивления зависит, например, для прямоугольного сечения, от квадрата высоты сечения, а площадь – линейно. Увеличение площади увеличивает расход материала на изготовление балки. Более рациональным сечением считается такое сечение, при котором отношение момента сопротивления к площади имеет большее значение. Для этого следует возможно большую часть площади поперечного сечения располагать как можно дальше от нейтральной оси. Ниже показаны 5 поперечных сечений балки, составленных из неравнобоких уголков и листа, площадь всех сечений одинакова, а моменты сопротивления различны: В связи с тем, что площади этих сечений одинаковы,наиболее рациональным из них является то,у которого момент сопротивления Wx больше.■ Добиться снижения веса балки можно также путем изменения размеровсечения по ее длине в соответствии с изменением величины изгибающегомомента.Поскольку эпюра изгибающего момента имеет в общем случае криволинейноеочертание, то для получения рационального сечения размеры, например высотаили толщина полок, должны непрерывно изменяться.Из технологических соображений вместо этого используют ступенчатоеизменение толщины, достигаемое приваркой или приклепываниемдополнительных горизонтальных листов: На рисунке изображена, так называемая, эпюра материалов,ординаты которой равны произведению момента сопротивленияпоперечного сечения на допускаемое напряжение:

Лекция 14 Прямой поперечный изгиб – в поперечном сечении балки, кроме изгибающего момента, действует также поперечная сила.При прямом поперечном изгибе изгибающий момент действует в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции поперечногосечения балки. Поперечная сила при этом обычно параллельна плоскости действия изгибающего момента.■ Касательные напряжения при поперечном изгибе - В общем случае при поперечном изгибе балок произвольного профиля могутвозникать две компоненты полного касательного напряжения в сечении. Компонента zx для такого сечения не может быть найдена методамисопротивления материалов. Касательные напряжения zy, возникающие в поперечном сечении, связаны с поперечной силой, действующейв этом сечении бруса, интегральной зависимостью:Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса и заменим действие отброшенных частейнормальными напряжениями и касательными напряжениями. Под их действием элемент находится вравновесии. При действии поперечной силы изгибающий момент в сечении, отстоящем на расстоянии dz от другого сечения, имеет приращение dMx. Отсечем от рассматриваемого элемента некоторую ее часть горизонтальной плоскостью и заменимее действие касательными напряжениями (нормальные напряжения в соответствии с гипотезой оботсутствии сдавливания продольных волокон не рассматриваются).Перенесем первый интеграл в правую часть и подставим в него выражение для нормальных напряжений:Приращение изгибающего момента и осевой момент инерции сечения не зависят от площадиотсеченной части и их можно вынести за знак интеграла. Оставшееся подинтегральное выражение совпадает с выражением для статического момента площади отсеченной части поперечного сечения:Полагая касательные напряжения постоянными по площади A1, что соответствует предположению постоянства деформаций сдвига по ширине поперечного сечения, учитывая закон парности касательных перемещений и дифференциальнуюзависимость поперечной силы, получаем:

Лекция 14 (продолжение – 14.2) Распределение касательных напряжений по высоте сечения – Из формулы Журавского следует,что касательные напряжения в волокнах поперечного сечении, расположенных на некотором расстоянии от оси,зависят от величины статического момента площади отсеченной части и ширины сечения на высоте секущей плоскости: Построим эпюры касательных напряжений для некоторых простых сечений: Прямоугольное сечениеПроведем горизонтальное сечение на высоте yи вычислим статический моментотсеченной части:Подставим в формулу Журавскоговыражения для статического моментаи момента инерции:Полученная зависимость являетсяквадратичной от координаты рассматриваемого слоя.Таким образом, касательные напряжения по высотесечения изменяются по квадратной параболе: y = h/2, zy = 0; y = 0, zy = zymax =3Qy/(2bh) =1,5 zyср Сечение имеет ступенчатое изменение ширины и поэтому следует рассматривать отдельно два участкаизменения координаты: 0 < y1< h/2 – стенка и h/2 < y2< H/2 – полка.На обоих участках соблюдается квадратичная зависимость откоординаты волокна. В местах резкого изменения ширины сеченияв соответствии с формулой Журавского эпюра имеет скачки:

Лекция 14 (продолжение – 14.3) Тонкостенное сечение – Эпюра вертикальных касательных напряжений zy строится аналогично рассмотренному ранее для толстостенного двутавра.В полках возникают горизонтальные касательные напряжения zx , которые могут быть определеныпо формуле Журавского, при этом статический момент площади, отсекаемой вертикальной плоскостьюна расстоянии x1, вычисляется по-прежнему относительно оси x:Это следует из того факта, что при сечении вертикальнойплоскостью в продольном сечении возникают касательныенапряжения xz , равные касательным напряжениям zx в поперечном сечении на расстоянии x1. Далее, следуя процедуревывода формулы Журавского, приходим к той же формуле.В отличие от предыдущего (определение вертикальныхкасательных напряжений) теперь статический момент отсеченнойчасти изменяется по линейному закону: Отсюда рассматриваемые горизонтальные касательные напряжения изменяются также по линейному закону: Максимальные касательные напряжения: Первый интеграл равен площади эпюры касательныхнапряжений zx, умноженной на толщину полки:Таким образом,крутящий момент равен:Приведение системы касательныхнапряжений к равнодействующей дает:Полученный центр приведения определяет положение равнодействующей касательных напряжений и называется центром изгиба. Для рассмотренного сечения он находится вне контура сечения. При прохождении поперечной силы через центр изгиба кручение сечения не возникает. Понятие о центре изгиба – Направления касательных напряжений по сечению тонкостенных балок показывают, что в поперечном сечении возникает крутящий момент относительно центра приведения, совпадающим с центральной осью балки, т.е. система внутренних сил (касательных напряжений) в сечении приводится к главному вектору и главному моменту. Это означает, что кроме сдвига в плоскости действия поперечной нагрузки сечение подвергается деформации кручения, хотя поперечная нагрузка находится в главной плоскости инерции.

Лекция 15 Расчеты на прочность по касательным напряжениям и усилиям сдвига – Составные изгибаемые элементы собираются на основе клеевых, сварных, заклепочных и болтовых соединений, позволяющих создать рациональные сечения. Эти соединения непосредственно воспринимают касательные усилия (напряжения).Опасным сечением для углового сварного шва является сечение, проходящее по биссектрисепрямого угла, соответствующее наименьшей площади среза шва. За расчетное сечение принимаетсяAш = bш∙ lш =hш∙cos450∙lш, где lш - длина шва (сегментная часть площади поперечного сечения шваотбрасывается, как область, в которой не обеспечивается качество шва).В общем случае принимается Aш = hш∙∙lш, где - коэффициент формы углового шва, зависящийот вида сварки (для авто- и полуавтоматической многопроходной сварки =0,7).При расчете на смятие следует полагать, что сдвигающаясила, как равнодействующая касательных напряженийв плоскости сдвига, вычисленная как для сплошного сечения, вызывает смятие боковой поверхностизаклепок. Расчетной площадью смятия является наименьшая из площадей, образованной сечением диаметральной плоскостью тела заклепки. В данном случае Aсм = dз∙б, где б – толщина стенки. Условие прочности на смятие, подобное условию прочности на срез, принимает вид:

Лекция 15 (продолжение – 15.2) Анализ напряженного состояния при изгибе – Ранее были получены и рассмотрены выражения для нормальныхи касательных напряжений, возникающих при изгибе. При расчетах на прочность должны быть определены те сечения и теволокна, в которых эти напряжения достигают максимальных значений. И это разные сечения и разные волокна. Например, при поперечном изгибе двухопорной балки максимальный изгибающий момент возникает в середине пролета, а максимальнаяпоперечная сила – в опорных сечениях. При этом максимальные нормальные напряжения возникают в наиболееудаленных волокнах, а максимальные касательные напряжения –на нейтральной оси.В элементе балки, находящейся в некотором сечении, в котором одновременно действуют достаточно большие изгибающий момент и поперечная сила, на произвольном расстоянии от нейтральной оси, возникают одновременно нормальные и касательные напряжения. Главные напряжения в этом элементе и тангенсугла наклона главных площадок определяютсявыражениями: Определив величины главных напряженийдля ряда точек данного сеченияна различном расстоянии от нейтральной оси,можно построить эпюры главных напряжений: Наглядное представление о потоке внутренних сил в теле (стенке) балки могут дать траектории главных напряжений – линии, в каждой точке которого касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке. На рисунке показаны траектории растягивающих главных напряжений. Они пересекают нейтральную ось под углом 450.При армировании бетона стальными стержнями учитывается характерэтих траекторий, т.к. бетон плохо сопротивляется растяжению:Траектории сжимающих главных напряжений учитываются при постановкеребер жесткости для предотвращения выпучивания тонких стенок, вследствиеналичия сжатых областей в стенке. Анализ напряженного состояния при изгибе балки показывает, что необходимо проверять условия прочности по нормальным напряжениям в крайних волокнах сечений с максимальной величиной изгибающего момента ( в середине пролета), по касательным напряжениям – на нейтральной оси опорных сечений и по главным напряжениям – в точках соединения стенки и полки сечений, в которых действуют изгибающий момент и поперечная сила.

Лекция 15 (продолжение – 15.3) Изгиб стержня в упругопластической стадии – Рассмотренные ранее условия прочности основываются на сравнении максимальных напряжений с расчетным сопротивлением в предположении упругой работы материала. Для хрупких материалов за расчетное сопротивление принимается величина, связанная с пределом прочности, для пластичных – с пределом текучести. Для хрупких материалов возникновение максимальных напряжений, больших расчетного сопротивления, действительно означает исчерпание несущей способности рассматриваемого сечения и балки в целом.Это не так для материалов, имеющих стадию текучести. Можно заметить, чтов случае изгиба при достижении напряжениями в крайних волокнах предельныхзначений, волокна, находящиеся ближе к нейтральной оси, испытывают меньшие,вплоть до нуля, напряжения. Для этих материалов, возникновение напряжений, равных пределутекучести, не является предельным состоянием, поскольку другие волокнаеще остаются упругими и могут воспринимать увеличение нагрузки.При увеличении нагрузки зона текучести начинает увеличиваться, продвигаясь к нейтральной оси.Исчерпание несущей способности сечения произойдет в момент, когда зона текучести распространится вплоть до нейтральной оси и материал по всему сечению будет деформироваться при постоянной нагрузке.Состояние сечения, когда во всех его точках развиваются пластические деформации, называютпластическим шарниром. При возникновении пластического шарнира балка не может остаться в равновесии и превращается в механизм:При образовании пластического шарнира нулевая линия занимает положение, разделяющее сечениена две равновеликие части. Это следует из равенстванулю суммарного продольного усилия: Развившийся пластический шарнир не является идеальным (совершает работу при взаимном повороте смежных сечений, т.е. оказывает определенное сопротивление). Момент сопротивления повороту смежных сечений можно определить приведением напряжений относительно любой оси, например, центральной (равнодействующие сжимающих и растягивающих напряжений образуют пару):Выражение в скобках можно рассматривать как пластическиймомент сопротивления, проводя аналогию с моментомсопротивления сечения в упругой стадии:Пластический момент сопротивления всегда больше момента сопротивления сечения в упругой стадии. Например, для прямоугольного сечения:Таким образом, пластический момент сопротивления прямоугольного сечения в 1,5 раза больше упругого, и это означает, что нагрузка может быть увеличена в 1,5 раза с момента возникновения текучести до полного исчерпания ею несущей способности.

Лекция 16 Понятие о чистом сдвиге – Кроме деформации растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Примером этому может служить напряженно-деформированное состояние элемента стенки балки в произвольном сечении, рассмотренное в предыдущей лекции. Там же было показано, что в опорных сечениях на нейтральной оси на гранях элемента отсутствуют нормальные напряжения, а касательные напряжения максимальны. Другим примером, можно сказать классическим, является кручение тонкостенной трубы,при котором любой элемент находится только под действием касательных напряжений. Напряженно-деформированное состояние, характеризуемое тем, что на граняхэлемента возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом. Закон Гука сдвиге – Деформации чистого сдвига экспериментально изучаютсяпутем кручения трубчатых образцов. Экспериментальная диаграмма сдвига,связывающая напряжения и угол сдвига, для пластичной стали имеет такой же характеризменения, как и диаграмма растяжения:До напряжения пц , называемого пределом пропорциональностипри сдвиге справедлива линейная зависимость(закон Гука при сдвиге): Касательное напряжение, при котором угол сдвига возрастает при постоянном напряжении называетсяпределом текучести при сдвиге.■ Связь между модулем сдвига и модулем упругости при растяжении – Модуль сдвига и модульупругости при растяжении являются физическими постоянными материала, характеризующимижесткость в каждом из этих двух видов деформации. Поскольку удлинение диагонали элемента,вызванное сдвигом, может быть получено также растяжением этого волокна под действиемнормальных напряжений, эти константы должны быть связаны между собой некоторым соотношением:Таким образом существует соотношение между модулем сдвига и модулем упругости прирастяжении с участием коэффициента Пуассона. Любую из этих величин можно определить,если известны две другие.

Лекция 16 (продолжение – 16.2) Кручение стержней круглого поперечного сечения – Кручение характерно тем, что в поперечных сечениях возникают касательные напряжения , приводящиеся к крутящему моменту Mz.Деформация стержня при кручении выражается тем, что поперечные сечения поворачиваются вокруг оси стержняz на некоторые углы = (z) , называемые углами закручивания. Касательные напряжения при кручении – Как указывалось ранее, задачаопределения напряжений является статически неопределимой, для решения которойнеобходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечениямии заменим действие отброшенных частей касательными напряжениями.Под их действием элемент находится в равновесии. Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям былополучено интегральное соотношение, связывающие крутящий моментс касательными напряжениями:Касательное напряжение произвольного направления в каждой точкеплоскости поперечного сечения можно разложить по двум другимнаправлениям, а именно, по радиусу , соединяющему точку с центромтяжести сечения, и по перпендикуляру к этому радиусу. Моментотносительно центральной оси z будет создавать лишь вторая компонента,обозначаемая одним символом . Тогда:Из этого соотношения найти напряжение по известному крутящему моменту пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по радиусу сечения неизвестен.Полученная формула показывает, что касательные напряжения линейно зависятот расстояния рассматриваемого волокна до центральной оси и принимаютМаксимальные значения при =max:

Лекция 16 (продолжение – 16.3) Анализ напряженного состояния при кручении – По закону парности касательных напряжений полученная формула для касательных напряжений, возникающих в поперечном сечении, одновременно определяет касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной продольному диаметральному сечению:Каждый прямоугольный элемент материала испытывает напряженное состояние чистого сдвига. Определение углов закручивания – При выводе формулы касательных напряженийпри кручении была получена дифференциальная зависимость: Угол закручивания определяется из этого дифференциального соотношения интегрированиемлевой и правой части: где 0 – угол поворота при z = 0.В частном случае при постоянном моменте Mz, постоянной жесткости GIpи неподвижном сечении в начале координат (φ0 = 0) получаем:Этой формулой можно пользоваться при определении угла для вала постоянного илиступенчато постоянного сечения, нагруженного сосредоточенными моментами.При этом на каждом из участков, на котором крутящий момент, жесткость постоянны, угол закручивания изменяется по линейному закону. Как следует из общей формулы определения угла закручивания, при построении эпюры углов закручивания ординаты эпюры откладываются от уровня предыдущего угла закручивания, т.е. строятся нарастающим итогом, учитывая угол закручивания предыдущего участка.Пример: Построить эпюру углов закручивания для стержня нагруженного сосредоточенными моментами:M1=5M, M2=4M, где M – параметр нагрузки, Ip2/Ip1 = 2.Расчеты на жесткость – Валы машин испытывают переменные (динамические) нагрузки. При малойжесткости валов могут возникать нежелательные крутильные колебания. Поэтому, помимо условий прочностидолжны выполняться условия жесткости, ограничивающие величину максимального угла закручивания,отнесенного к длине (погонного угла закручивания):

Лекция 17 Статически неопределимые задачи при кручении – решаются так же, как и при других видах деформации, т.е. последовательно раскрываются три стороны задачи (статика, геометрия и физика). Специфика лишь состоит в том, что составляются другие уравнения равновесия, сопоставляются угловые перемещения (углы закручивания) и используется физические соотношения упругости, связывающие деформации и усилия при кручении.Пример. Вал круглого сечения имеет ступенчатое изменение диаметра (d = 0.707D) и нагружен тремя скручивающими моментами M. 1. Статика – Отбрасываем жесткие заделки, заменяем их реактивными моментами: Составляем моментное уравнение равновесия относительно оси вала:Это уравнение единственное, которое связывает нагрузку и реактивные моменты.Все другие (сумма проекций на координатные оси и суммы моментов относительноосей x, y) обращаются в тождества. Следовательно, задача является статическинеопределимой с одним “лишним” неизвестным. 2. Геометрия – При наличии на обоих концах вала неподвижных заделок сумма угловзакручивания на каждом из участков при любом нагружении должна быть равной нулю- уравнение совместности деформаций): Уравнение совместности принимает вид:Здесь первые три слагаемые есть углы закручивания, вычисленные для сечения B,от действия трех заданных моментов по отдельности. Последнее слагаемое – уголзакручивания от действия неизвестного опорного момента MB.Соотношения упругости:Подстановка этих соотношений после некоторых сокращений дает:откуда получаем:Далее находится из уравнения равновесиялевый опорный момент и строится эпюракрутящих моментов обычным образом илиее можно построить без нахождения левогоопорного момента, двигаясь справа.Для построения эпюры углов закручиванияпридется вычислить для каждого из участковотносительные углы, как это было показанопри предыдущем подходе к решению.

Лекция 17 (продолжение – 17.2) Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения – При рассмотрении деформации кручения стержней круглого сечения использовалась гипотеза плоских сечений. При кручении стержней прямоугольного сечения возникает депланация сечения – точки плоского до деформации поперечного сечения дополнительно перемещаются из этой плоскости по некоторому нелинейному закону:Из рисунка [1] видно, что угол сдвига элемента, выделенного наповерхности бруса, происходит не только за счет наклона образующих,но и за счет наклона сторон, лежащих в поперечных сечениях:При вычислении касательных напряжений в угловых точках по формуле, выведенной прииспользовании гипотезы плоских сечений (круглые сечения), в углах прямоугольного сечениядолжны получаться максимальные касательные напряжения ( = max), а на самом деле в этих точках прямой угол остается прямым и касательные напряжения равны нулю.Таким образом гипотеза плоских сечений не применима и задача кручения прямоугольного стержня не может быть решена в рамках допущений, принимаемых в сопротивлении материалов. Строгое решение такой задачи рассматривается в курсе теории упругости(кто не сдаст сопромат, тому не грозит изучение теории упругости - и ему хорошо, и преподавателю тоже).Приведем некоторые основные результаты решения методами теории упругости задачи кручения стержней прямоугольной формы:Мембранная аналогия – позволяет установить качественную картину распределения касательных напряжений. В теории упругости доказывается, что полное касательное напряжение пропорционально тангенсу угла наклона касательной к поверхности идеальной гибкой мембраны, натянутой на контур сечения, равномерно растягиваемой во всех направлениях и нагруженной постоянно распределенной поперечной нагрузкой. Некоторое представление от такой мембране дает мыльная пленка, выдуваемая на проволочный контур.Поперечная нагрузка, например, давление воздуха (дутье), вызывает прогибыповерхности. Сечения поверхности горизонтальными плоскостями дают линииравных прогибов (горизонтали), расстояния между которыми обратнопропорциональны тангенсу угла наклона касательной и, значит, величинекасательных напряжений. Направление вектора касательных напряженийсовпадает с касательными к горизонталям.С помощью мембранной аналогии можно качественно предсказать положениеточек, в которых возникают максимальные касательные напряжения (сгущениегоризонталей) и минимальные (нулевые). На рисунке изображены (по техническим причинам) эллипсы, на самом деле при приближении к контуру должны быть некоторые овалы. Тем не менее можно увидеть, что в углах прямоугольного контура касательные напряжения должны обращаться в ноль.4. В углах сечения касательныенапряжения равны нулю.

Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вывоспользовались этим материалом для подготовки к экзаменампо рассмотренным разделам сопротивления материалов.Это только первая часть увлекательной и важной дисциплины.Дальше будет еще интереснее для тех, кто продолжит обучение.Тем, кто оставит нас – с теми попрощаемся без обид (“Каждому – - свое” было написано на воротах Бухенвальда). Если представленный материал поможетмолодым преподавателям сопротивления материаловподготовиться к чтению лекций илипослужит основой для разработки собственного курса лекций,то авторы будут только рады. Успеха всем!