Презентация на тему: Функции

Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх, стремящемся к нулю.

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции

Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума

Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюса, то х0 есть точка минимума Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюса, то х0 есть точка минимума

Исследовать на экстремумы функцию Исследовать на экстремумы функцию

Найти область определения и значения данной функции Найти область определения и значения данной функции Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т.е. является ли функция: а) четной или нечетной; б) периодической Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат Найти промежутки знакопостоянства функции выяснить, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает Найти точки экстремума, вид экстремума (max или min) и вычислить значения функции в этих точках Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента

Исследовать функцию и построить ее график: Исследовать функцию и построить ее график:

Область определения: D (y) = R Область определения: D (y) = R Четность, нечетность, периодичность тогда функция является ни четной ни нечетной ни периодическая

3. Найдем точки пересечения графика 3. Найдем точки пересечения графика с Ох (у = 0):

Пересечения с Оу: х = 0, у = 0 Пересечения с Оу: х = 0, у = 0 Возьмем также дополнительные точки: 4. Найдем производную:

5. Составим таблицу: 5. Составим таблицу:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезках, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезках, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

Функция есть первообразная для функции на интервале (- ∞;∞), т.к. Функция есть первообразная для функции на интервале (- ∞;∞), т.к.

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная

Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g

Найти общий вид первообразных для функции Найти общий вид первообразных для функции

Если F есть первообразная для f, а k- постоянная, то функция kF – первообразная для kF Если F есть первообразная для f, а k- постоянная, то функция kF – первообразная для kF

Найдем одну из первообразных для функции Найдем одну из первообразных для функции

Если F(х) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k ≠ 0, то Если F(х) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k ≠ 0, то есть первообразная для f(kx + b)

Найдем одну из первообразных для функции Найдем одну из первообразных для функции

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S = F(b) – F(a)

Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми у = 0, Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми у = 0, х = 1 и х = 2

Для любой непрерывной на отрезке [a; b] функции f (не обязательно неотрицательной) Sn при n → ∞ стремится к некоторому числу. Это число называется интегралом функции f от a до b и обозначается Для любой непрерывной на отрезке [a; b] функции f (не обязательно неотрицательной) Sn при n → ∞ стремится к некоторому числу. Это число называется интегралом функции f от a до b и обозначается

Читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс» Читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс» Числа a и b – пределы интегрирования: а – нижний предел, b – верхний предел Функция f – подынтегральная функция х – переменная интегрирования

Если F – первообразная для f на [a; b], то Если F – первообразная для f на [a; b], то

Вычислить Вычислить