Презентация на тему: Метод интервалов. Общий метод интервалов

МАТЕМАТИКА Метод интервалов. Общий метод интервалов .

Л Е К Ц И Я № 7 «Метод интервалов. Общий метод интервалов.» Литература С.М. Никольский «Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений» §2 п. 2.7 – 2.9.

План лекции: Рациональные неравенстваМетод интерваловОбщий метод интервалов

Определение Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно , называют рациональным неравенством с неизвестным .

Определение Решением неравенства с неизвестным называют число, при подстановке которого в это неравенство вместо получается верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или показать, что их нет.

Метод интервалов для решения неравенств вида основан на следующем утверждении. Точка делит ось на две части: 1) для любого , находящегося справа от точки , двучлен положителен; 2) для любого , находящегося слева от точки , двучлен отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство Не нарушая общности, положим Тогда: 5). Аналогично рассуждая, получим, что для из для из интервалов

Замечание 1. Сами числа не являются решением неравенства . Замечание 2. Множество решений неравенств вида , и где , , есть объединение множества всех решений неравенств и и множества всех решений уравнения .

Метод интервалов для решения неравенств вида , , , ,где , , , то есть все различны. 1. Привести рациональное неравенство к одному из видов: , где 2. Найти нули множителей, стоящих в левой части неравенства, и расположить их на оси в соответствующем порядке.

Метод интервалов для решения неравенств вида , , где , , то есть все различны. 3. Над промежутком справа от наибольшего нуля многочлена поставить знак «+», так как на этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной нуль, сменить знак на противоположный.

Пример1 Решить неравенство . Нули множителей: , , .

Пример2 Решение умножив неравенство на -1 и разложив квадратный трёхчлен на множители, получим неравенство равносильное данному Решить неравенство . Нули множителей: , , , .

Пример3 Решить неравенство . умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на множители, получим неравенство равносильное данному Нули множителей: , , , .

Пример4 Решить неравенство умножив неравенство 2 раза на -1, разложив квадратные трёхчлены на множители и учитывая, что , получим неравенство равносильное данному Нули множителей: , , , , , . Ответ:

Общий метод интервалов для решения неравенств вида , , , ,где , если не все различны. 1. Привести рациональное неравенство к одному из видов: , гдеесли не все различны, то произведение одинаковых двучленов записывают в виде степени этого двучлена , .

Общий метод интервалов для решения неравенств вида , , , ,где , если не все различны. 3. Над промежутком справа от наибольшего нуля многочлена поставить знак «+», так как на этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной нуль, сменить знак на противоположный, если соответствующий этому нулю двучлен возведён в нечётную степень, и сохранить знак, если соответствующий этому нулю двучлен возведён в чётную степень.

Решить неравенство . Пример1 Нули множителей: , , , .

Решить неравенство . Нули множителей: , , .

Метод интервалов для решения неравенств вида и , где и разлагаются в произведения разных двучленов вида . Неравенство равносильно неравенству , неравенство равносильно неравенству .

Решить неравенство . Решение Нули множителей: , .

Решить неравенство . умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на множители, получим неравенство равносильное данному Нули множителей: , , , .

Решить неравенство . Нули множителей: , , , . Метод интервалов для решения неравенств вида и , где и разлагаются в произведения двучленов, где в числителе и знаменателе дроби имеются одинаковые двучлены .

Метод интервалов для решения неравенств вида и , где и разлагаются в произведения двучленов, где в числителе и знаменателе дроби имеются одинаковые двучлены . Не нарушая общности положим, что неравенство

Решить неравенство . Решение Нули множителей: , , . Ответ:

Замечание. Множество решений неравенств вида , есть объединение множества всех решений неравенств , и множества всех решений уравнения .

(ЦТ 2000 г.)Найти число целых решений неравенства Нули числителя: , . Нули знаменателя: , , . Целые решения: Ответ: 4 целых решения.

(ЦТ 2000 г.)Найти число целых решений неравенства Решение Пример1 Целые решения: Ответ: 4 целых решения.

Домашнее задание 1) Материал лекций 1 –7.2) Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов» §8 № 8.54в), г); 8.72; 8.90; 8.96.3) Сборник для подготовки к ЦТ. Тема № 6.