Презентация на тему: Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе математики

Математические понятияи методика их изученияв школьном курсе математики ТМОМ Методические основы обучения математике

План Математические понятия (сведения из логики)Сущность математических понятий;Логические характеристики понятий: содержание, объем;Пути конструирования понятий;Классификация понятийОпределения математических понятийСпособы определения, структура определения;Виды определенийТребования к корректности определенийМетодики изучения понятий и схемы их примененияМетоды формирования понятий;Организация усвоения понятий (этапы формирования); Основные приемы действий с понятиями; Система упражнений, направленная на формирование понятия.

Сущность математических понятий Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира.Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

Признаки понятия Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различнымиСущественные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

Образование понятия

Логические характеристики понятия Содержание понятия - совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием.Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено.Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

Закон обратного отношения Чем уже объем понятия, тем шире его содержание;Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

Родовидовое отношение между понятиями Если объем одного понятия входит в объем другого понятия, то понятие с меньшим объемом называется «видовым», понятие с большим объемом называется «родовым».Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»

Виды понятий(по соотношению объемов) Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия).Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементыРавнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают.Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают.Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

Характеристики признаков понятия Пусть понятие А включает класс объектов ХПризнак а называется необходимым или основным признаком понятия А, если признаком а обладает любой объект из Х.Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х.Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

Конструирование новых понятий Осуществляется с помощью трех логических операций:обобщения,ограничения,классификации.

Обобщение понятий Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию).Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

Ограничение понятий Ограничением понятий - логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию).Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

Классификация понятий Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)Классификации считается правильной, если:признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые;сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций дихотомическая ( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям. При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Определение понятия Трактовки термина «определение понятия»:логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных признаков;математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.

Что значит определить понятие? С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание.В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

Типы определения понятия

Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через показ, демонстрацию.Вербальное определение – описание объекта словами.Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно.Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).

Структура определений понятия конъюнктивная структура – в определении все признаки связаны союзом «и»;дизъюнктивная структура – в определении признаки связаны союзом «или»;импликативная структура – в определении признаки связаны отношением следования (в терминах «если …, то…»)

Виды определений (в зависимости от определяемого объекта) Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов.Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.

Виды определений (в зависимости от способа выделения видовых отличий) Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия.Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия.Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества.Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.

Формально-логические требования корректности определений признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других;количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия;признаки должны быть независимыми.

Логико – математический анализ определения понятия определение способа получения нового понятия;определение типа и вида определения; определение структуры определения;раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия);определение корректности определения.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый признак равенства всех сторон.Определение явное и реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата. Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и».Ближайший род – прямоугольник.Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны.Определение не вполне корректное: избыточное.

Формирование понятия – длительный процесс Начальные этапы работы с понятием Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания.Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация.Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

Введение понятия и его определения

Схема применения конкретно- индуктивного метода анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование;через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие;на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие;рассматриваются примеры и контрпримеры;понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.

Схема применения абстрактно- дедуктивного метода формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия;через рассмотрение частных примеров и контрпримеров осуществляется конкретизация определения;понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

Усвоение понятия

Раздельный метод – сначала происходит запоминание формулировки определения. А затем формируется навык ее применения.Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению.Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

Этапы организации усвоения понятия (в соответствии с концепцией обогащающей модели обучения М.А. Холодной) Мотивировка - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта.Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия.Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания.Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

Организация обучения учащихся работе с понятиями ( в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина ) формирование мотивации введения нового понятия;представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД;организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат;организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.

Основные приемы действий с определениями понятий Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином.Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.

Система упражнений, направленная на формирование понятий Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий.

Система задач Г.И. Саранцева на мотивацию (практического характера);на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам;на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия;на выделение следствий из определения понятия;на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия;на применение понятий в разных ситуациях;на систематизацию понятий.

Система задач М.А. Холодной на формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности;на выделение признаков усвояемого понятия;на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями;на развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия;на подключение предметного опыта учащихся.

Благодарю за внимание!