Презентация на тему: Числовые ряды Миронюк

- Определение числового ряда - Определение числового ряда - Сумма ряда - Примеры числовых рядов - Определение частичной суммы - Сходящиеся и расходящиеся ряды - Признак Даламбера, исследование на сходимость

Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2, u3, un, …, Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2, u3, un, …, и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + … числа u1, u2 , u3, … – члены ряда. Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы , рассмотрим частичные суммы данного ряда. s1 = u1 – первая частичная сумма, s2 = u1 + u2 – вторая частичная сумма, s3 = u1 + u2 + u3 – третья и т.д. Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.

u1, u2 , u3, …, un, … u1, u2 , u3, …, un, … s1, s2 , s3, …, sn, … , где s1 = u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, …………………………… sn = u 1+ u2 + u3 + … + un, …………………………… При частичная сумма имеет предел

Ряд называется сходящимся, если Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

Пример 1 Пример 1 Выражение 1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1 + … является рядом. Составим частичные суммы s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1, …,

Пример 2 Пример 2 Выражение является рядом. Из членов составляют частичные суммы

Пример 3 Пример 3 Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … , имеет бесконечный предел.

Пример 4 Пример 4 Ряд 1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм не имеет никакого предела.

Ряд Ряд u1 + u2 + … + un + … может сходится, когда общий член ряда un стремится к нулю:

Пример 5 Пример 5 Ряд 0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю. Пример 6 Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремится к нулю.

Если знаменатель прогрессии удовлетворяет Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству: |q| < 1, то последовательность частичных сумм (Sn) имеет предел: который называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (т.е. суммой ряда).

Если члены положительного ряда Если члены положительного ряда а1+а2+ …+ аn+… таковы, что существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Примеры Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1. 2. Решение: воспользуемся признаком Даламбера: ряд сходится.

Решение второго примера: т.к. , то ряд расходится.

Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре. Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.