Презентация на тему: Представление чисел в памяти компьютера

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА

* ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Любая информация в ЭВМ представляется в виде двоичных кодов. Отдельные элементы двоичного кода, принимающие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Память компьютера условно делиться на отсеки или ячейки, каждая из которых имеет свой номер. Нумерация начинается с нуля. Минимальной адресуемой ячейкой памяти называется байт – 8 двоичных разрядов. порядковый номер байта называется его адресом. Наибольшую последовательность битов, которую процессор может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом. Длина машинного слова может быть разной - 8 , 16 , 32 бит и т.д. Двоичные разряды в любой ячейке памяти нумеруются справа налево, начиная с нуля. Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел. Для положительных и отрицательных чисел существует знаковый способ представления числа. Под знак отводится старший разряд ячейки: 0 - для положительных чисел, 1 - для отрицательных чисел.

* Для упрощения реализации арифметических операций в компьютере целые числа представляются специальными кодами - прямым, обратным и дополнительным. Для положительного числа прямой, обратный и дополнительный коды выглядят одинаково. Прямой код двоичного числа — это само двоичное число, причем значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел -1 . Обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем замены нулей единицами, а единиц нулями, исключая знаковый разряд. Дополнительный код отрицательного числа образуется как результат суммирования обратного кода с единицей младшего разряда. Перенос в знаковый разряд при этом теряется. Примечание. Дополнительный код основан на понятии дополнения числа - величины, которую надо добавить к числу, чтобы получить переход единицы в старшем разряде. Дополнением k-разрядного целого числа Z в системе счисления с основанием q называется величина: D = q k - Z.

* Пример 1. Определить прямой, обратный и дополнительный коды следующих двоичных чисел: а)100100; б) -100011; в) -100100. Решение Будем считать, что число размещается в двух байтах. Старший бит – знак разряда. Незначащие нули добавляются слева от числа. Результат представим в виде таблицы: Число Прямой код Обратный код Дополнительный код 100100 0000000000100100 0000000000100100 0000000000100100 -100011 1000000000100011 1111111111011100 1111111111011101 -100100 1000000000100100 1111111111011011 1111111111011100

* Пример 2. Как будет представлено в памяти компьютера целое число 1234510 ? Решение Для размещения числа возьмем два байта. Поскольку число положительное, то в старшем (15-м) бите будет 0. Переведем число в двоичную систему счисления: 1234510 = 110000001110012. Результат: Знак числа число 0 0110000 00111001

* Задания для самостоятельного выполнения Запишите прямые коды десятичных чисел в однобайтовом формате: а) 64 б) 58 в) 72 г) -96 2. Запишите двоичные числа в дополнительном коде: а) 1010 б) -1001 в) -11 г) -11011 3. Переведите в прямой код числа, записанные в дополнительном коде, и найдите их десятичные эквиваленты: а) 00000100 б) 11111001 4. Представьте целые числа в 16-разрядной ЭВМ: а) 25 б) -25 в) 801 г) -610

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА В ЭВМ *

* Особенности двоичной системы счисления позволяют создавать специфические алгоритмы вычитания и умножения двоичных чисел, наиболее подходящие для аппаратной реализации. Целочисленная двоичная арифметика используется при изучении программирования, в процессе освоения операторов цикла, оператора выбора, стандартных процедур val и str, операций над целыми числами div и mod, операций над строковыми величинами. Сложение чисел производится в дополнительных кодах поразрядно. При выполнении арифметических операций число может выйти за указанные границы. Произойдет переполнение разрядной сетки, поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта. Чтобы избежать ситуации переполнения, в языках программирования предусмотрено строгое описание типа переменной, которым определяется набор возможных ее значений. Вычитание целых чисел эквивалентно сложению с отрицательным числом. Отрицательное число может быть представлено в прямом коде. Однако использование прямого кода усложняет структуру команд процессора. При выполнении сложения чисел с разными знаками требуется выбрать из них большее по модулю, затем вычесть из него меньшее, выяснить знак большего и присвоить этот знак остатку. По этой причине в компьютерах используется представление отрицательного числа в дополнительном коде. Таким образом, операция вычитания выполняется как сложение с дополнительным кодом вычитаемого.

* Операции умножения и деления выполняются в прямом коде с использованием итерационных алгоритмов (ряда повторяющихся шагов). Умножение двоичных чисел сводится к двум операциям: сложения и сдвига. Операция деления для целых чисел однозначно не определена, поскольку в общем случае приводит к появлению нецелых (вещественных) чисел. Существуют различные методы и алгоритмы реализации этой операции в разных процессорах. Пример 1. Выполнить операцию вычитания 25 -34 . Учтем, что 25-34 = 25+ (-34) . Переведем числа 25 и 34 в двоичную систему счисления: 2510 = 110012 и 3410 = 1000102 . Запишем прямые, обратные и дополнительные коды, воспользовавшись 8-разрядной сеткой: После сложения дополнительных кодов получим код 11110111. Единица в старшем бите полученного кода означает, что число отрицательное. Следовательно, результат надо перевести в обратный, а затем в прямой код: 11110111 -> 10001000 -> 10001001 . Полученный результат интерпретируется как десятичное число:-10012= -910 . Число Прямой код Обратный код Дополнительный код 25 00011001 00011001 00011001 -34 10100010 11011101 11011110

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

В отличие от целых чисел, которые представляются в памяти машины абсолютно точно, значения вещественных чисел являются приближенными. В некоторых областях вычислений требуются очень большие или малые действительные числа. Для получения большей точности применяют запись чисел с плавающей точкой. В общем случае в формате с плавающей точкой число представляется в виде произведения двух сомножителей: R=m*Pn где m -мантисса числа; Р - основание системы счисления; n - порядок, указывающий, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться точка, отделяющая дробную часть в мантиссе. Например, число 5,14 может быть записано 0,514∙101 или 51,4∙10-1 и т.д. Запятая (десятичная точка) перемещается, или «плавает», вправо и влево в зависимости от порядка числа. При работе с числами в языках программирования и вычислительных системах используется экспоненциальная форма записи: R = m∙E±n, где Е - десятичное основание системы. Например, 3,1467890000Е + 2 = 314,6789 Нормализованная мантисса меньше единицы и первая значащая цифра не ноль.

* Задания для самостоятельного выполнения Сравните числа: а) 318,4785∙109 и 3,184785∙1011; б) 218,4785∙10-3 и 1847,85∙10-4; 2. Запишите числа в естественной форме: а) 0,1100000∙2100; б) 0,1001111∙2-111; 3. Выполните действия: а) 0,101010∙211 + 0,110011∙2100; б) 0,100011∙2100 – 0,100001∙2100; в) 0,110011∙2-10 * 0,100001∙21; г) 0,101001∙210 / 0,100000∙210.

РАЗМЕЩЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ *

* Метод представления вещественных чисел в памяти компьютера предполагает хранение двух чисел: мантиссы и порядка. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон чисел, представимых в машине при заданном формате. Правила кодирования мантиссы и порядка отличаются для различных типов машин. Рассмотрим для начала один из вариантов представления вещественных чисел. Для размещения вещественного числа могут использоваться четыре байта (32 бита) - короткий формат, 8 байтов длинный формат, 16 байтов - формат повышенной точности. В любом случае старший байт остается постоянным, а изменяется область, отведенная под мантиссу. Старший байт включает в себя: один бит (старший) - знак числа; один бит - знак порядка; шесть битов - порядок числа. В таком представлении максимальный порядок числа равен 1111112 = 6310. Следовательно, 1063 - максимальное число, которое можно закодировать таким образом: порядок мантисса знак порядка знак мантиссы Третий байт Второй байт Первый байт Нулевой байт

* Пример 1. Как будет представлено в памяти компьютера число —123,4510 ? Решение Представим число в 4 байтах. Нормализованный вид: -0,12345∙103 . Число отрицательное, поэтому старшим (31-й) бит равен 1. Порядок равен 3, он положительный, значит, З0-й бит равен 0. Число 3 в двоичной системе счисления имеет вид 11. Чтобы записать его в оставшихся 6 битах старшего байта, необходимо добавить незначащие нули. Таким образом, старший байт имеет вид: 10000011 . Найдем двоичное представление мантиссы 0,12345 по алгоритму перевода дробной части, 24 раза умножив ее на 2. Результат: Пример 2. Раскодировать содержимое четырех байтов памяти: а) как два целых числа; б) как одно вещественное: Решение а) 17793;-128; б) приблизительно 0,5058593 • 10-3 (порядок записан в дополнительном коде). 01000101 10000001 10000000 10000000

* Положительные и отрицательные значения порядка существенно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных компьютерах используют не прямое значение порядка, а смещенное. Его называют характеристикой числа. Для разных типов ЭВМ существуют разные варианты смещения порядка. Рассмотрим один из вариантов. Запись вещественного числа имеет структуру следующего вида: n-1 n-2 Знак мантиссы Смещенный порядок Абсолютная величина мантиссы Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка прибавляют смещение, равное 2k-1. Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от -64 до +63, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 127. Прокомментируем этот случай. В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа от 0000000 до 1111111. В десятичной системе счисления это числа от 0 до 127. Всего 128 значений, которые разделяются поровну между положительными и отрицательными значениями порядка в диапазоне от -63 до 63. Связь между смещенным порядком S и математическим Р в данном случае выражается формулой: S = Р + 6410 = P + 100 00002. ∙∙∙ ∙∙∙

* Пример 3. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовом машинном слове. Решение: 1. Переведем число в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами (3 байта под мантиссу): 250.187510= 11111010,00110000000000002. 2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000∙1010002. Здесь мантисса, основание системы счисления (210 = 102) и порядок (810 = 10002) записаны в двоичной системе. 3. Вычислим характеристику: S2 =1000 + 1000000 = 1001000. 4. Запишем представление числа в 4-байтовой ячейке памяти с учетом знака числа: Шестнадцатеричная форма: 48FA3000. 0 1001000 11111010 00110000 00000000

СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ *

* Выполнение арифметических действий над числами с плавающей запятой гораздо сложнее целочисленной арифметики. Для некоторых процессоров (в частности Intel) операции над вещественными числами вынесены в отдельный узел, который называют математическим сопроцессором. Сложение чисел с плавающей запятой выполняется в соответствии со следующим алгоритмом. 1. Представить числа А и В в нормализованном виде, записав отдельно значения мантисс и порядков. 2. Выровнять порядки по числу с большим порядком. 3. Выровнять число цифр в мантиссах по числу, порядок которого не изменился. 4. Сложить числа. 5. Нормализовать сумму, оставив число цифр в мантиссе таким, как у числа, порядок которого не изменялся.

* Пример. Найти сумму чисел А = 9,6098 и В = 98,009 по правилу сложения чисел с плавающей запятой. Решение: Результат представим в виде таблицы: Шаг Число Нормализованное число Порядок Мантисса Число цифр в мантиссе 1 А=9,6098 0,96098∙101 1 96098 5 В=98,009 0,98009∙102 2 98009 5 2 А 0,096098∙102 2 096098 6 3 А 0,09609∙102 2 09609 5 4 А+В 1,07618∙102 2 - - 5 А+В 0,101761∙103 3 10761 5