Презентация на тему: Сечения многогранников

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВЕсли многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника.Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общей частью многогранника и плоскости будет многоугольник, называемый сечением многогранника плоскостью.

ДИАГОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯСечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды.Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.

Упражнение 1Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью?

Упражнение 2Сколько диагональных сечений имеет n-угольная: а) призма; б) пирамида?

Упражнение 3Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) треугольник;б) правильный треугольник;в) равнобедренный треугольник;г) прямоугольный треугольник;д) тупоугольный треугольник?

Упражнение 4Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) квадрат;б) прямоугольник;в) параллелограмм;г) ромб;д) трапеция;е) прямоугольная трапеция?

Упражнение 5Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) пятиугольник;б) правильный пятиугольник?

Упражнение 6Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) шестиугольник;б) правильный шестиугольник;в) многоугольник с числом сторон больше шести?

Упражнение 7Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

Упражнение 8Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?

Упражнение 9Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке?

Упражнение 10Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться:а) треугольник;б) четырехугольник;в) пятиугольник;г) шестиугольник;д) семиугольник;е) восьмиугольник?

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙПри построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей.Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’Если даны три точки A, B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.

Упражнение 1Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками.Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

Упражнение 2Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB.Соединим точки E и Q, F и G. Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.

Упражнение 3Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, соединим точки E и F. Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC.Соединим точки E и B, F и C. Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением.

Упражнение 4Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B, Соединим отрезками точки E и B, F и B.Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно.Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.

Упражнение 5Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и DC.Обозначим S точку пересечения FR c СС1.Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением.

Упражнение 6Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD.Проведем прямую RF и обозна-чим S, T её точки пересечения с CC1 и DD1.Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A1D1.Соединим точки E и Q, G и S, U и F.Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.

Упражнение 7Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB1C1C, CC1D1D, AA1B1B, соответственно. Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’ на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью.IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC. Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA1 и CC1.Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.

Упражнение 8Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD.Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD.Проведем прямую FP, параллельную EG, и соединим точки P и G. Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением.

Упражнение 9Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F , лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD1.Решение. Проведем прямые EF, EC и BD. Точку пересечения прямых EC и BD обозначим P. Через точку P проведем прямую, параллельную BB1, и ее точку пересечения с EF обозначим Q. Через точку Q проведем прямую RS, параллельную BD1. Точку пересечения прямых ER и BC обозначим G.Соединим отрезками точки G и F. F и S.Соединим отрезками точки E и G, G и F, F и S.Проведем прямую EH, параллельную FS и соединим точки H и S.Полученный пятиугольник EGFSH будет искомым сечением.

Упражнение 10Построить сечение двух кубов плоскостью, проходящей через точки K, L, M , лежащие на ребрах куба.Решение. Сначала построим сечение верхнего куба. Это будет шестиугольник LNMPKQ.Продолжим MN, PK и QL. Соответствующие точки обозначим R, S и U, V.Проведем прямые RX и VY, параллельные UV и SR, соответственно.Искомое сечение состоит из двух шестиугольников LNMPKQ и RSUVYX.

Упражнение 11Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Соединим точки E и F. Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC1 обозначим H. Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A1C1 обозначим I. Соединим точки I и G.Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением.

Упражнение 12Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC1 и AC. Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K. Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B1C1 обозначим L. Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением.

Упражнение 13Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной AC1, проходящей через точки E, F.Решение. Проведем прямую EF и найдем точку G ее пересечения с плоскостью ACC1.Для этого проведем прямую EH параллельно BC. Искомой точкой G будет точка пересечения прямых EF и HC1.Через точку G проведем прямую параллельно AC1 и ее точки пересечения с A1C1 и AA1 обозначим I и K.Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.

Упражнение 14Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной, проходящей через точки E на ребре BC, F на грани ABB1A1 и G на грани ACC1A1.Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC.Проведем прямую EH, и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB. Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, R и Q их точки пересечения с A1C1, A1B1 и BB1.Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением.

Упражнение 15Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D1.Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E1. Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE.Проведем прямые KD1, LE1 и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC1 и FF1.Шестиугольник ABPD1E1Q будет искомым сечением.

Упражнение 16Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’.Решение. Проведем отрезки AB’ и AF’.Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’, и ее точку пересечения с EE1 обозначим E’.Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’, и ее точку пересечения с CC1 обозначим C’.Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’, и их точки пересечения с D1E1 и C1D1 обозначим D’, D” .

Упражнение 17Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’.Решение. Проведем прямые F’B’ и F’D’, и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC.Проведем прямую PQ. Обозначим R точку пересечения PQ и FC. Точку пересечения F’R и CC1 обозначим C’.Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’, и их точки пересечения с AA1 и EE1 обозначим A’ и E’ .

Упражнение 18Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F.Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD.Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

Упражнение 19Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E, F .Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH, параллельные CD.Соединим точки G и F, E и H. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

Упражнение 20Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD.Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD.Соединим точки F и Q, E и G. Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.

Упражнение 21Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки A, E, F.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим G её точку пересечения с DB.Проведем прямые AG и CB. Обозначим P их точку пересечения.Проведем прямую PF и обозначим Q её точку пересечения с SC.Полученный четырехугольник AFQE будет искомым сечением.

Упражнение 22Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB.Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB.Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD.Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD.

Упражнение 23Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F.Через точку F проведем прямую, параллельную AS, и обозначим G ее точку пересечения с AC.Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD.Через точку H проведем прямую, параллельную AS, и обозначим I ее точку пересечения с SD.Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.

Упражнение 24Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F.Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC. Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF.Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD.Соединим точки F, G, E, H. Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.

Упражнение 25Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A1, C1, E1.Решение. Найдем точку пересечения P прямой A1C1 с плоскостью основания.Найдем точку Q пересечения прямой E1C1 с плоскостью основания.Прямая PQ будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания.Проведем прямую ED и обозначим R, её точку пересечения с прямой PQ.Аналогичным образом находятся точки F1 и B1.Шестиугольник A1B1C1D1E1F1 будет искомым сечением.