Презентация на тему: Диофантовы уравнения

Диофантовы уравнения

Цели учебно – исследовательской работы: изучить способы решения диофантовых уравнений; повысить уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике 2

Задачи: разобрать основные приемы и методы решения уравнений в целых числах; выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и олимпиадных заданий разных лет.

Актуальность исследования В школьном курсе математики диофантовы уравнения не изучаются, но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ встречаются диофантовы уравнения 2-ой степени, также диофантовы уравнения часто встречаются и в олимпиадных задачах. Значит, ученику для успешной сдачи ЕГЭ и решения олимпиадных задач нужно знать и теорию и методику решения диофантовых уравнений.

Гипотеза Общего способа, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах, быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  диофантовы уравнения.

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида P(x1, x2, ..., xn) = 0, где P(x1, ..., xn) - многочлен с целыми коэффициентами.

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы: Имеет ли уравнение целочисленные решения; Конечно или бесконечно множество его целочисленных решений; Решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения; Решить уравнение на множестве целых положительных чисел.

Методы решения диофантовых уравнений 1. Алгоритм Евклида. Решение общих линейных уравнений. 2. Метод прямого перебора. 3. Метод разложения на множители. 4. Метод остатков. 5. Метод решения относительно одной переменной. 6. Метод бесконечного спуска. 7. Использование конечных цепных дробей. 8. Метод оценки.

Алгоритм Евклида. Решение линейных уравнений. ах + ву = с Множество решений исходного уравнения лежит на множестве чисел x = x0 + bn; y = y0 – an. ax2 + by = с, сделав предварительно замену х2=t, получим линейное уравнение at + by = c.

Метод прямого перебора 17х+40у+16z=100 Ответ: да, может 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.

В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Решение: Обозначим за «х» сороконожек, а за «у» трехглавых змей, тогда голов 3у + х = 26. Обозначим за «z» количество ног у одного змея, тогда ног уz + 40х = 298. Имеем систему уравнений: Ответ: у трехглавого змея 14 ног.

На 5 рублей куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы: арбуз 1 штука 50 коп, яблоко 1 штука 10 коп, слива 1 штука 1 коп. Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Метод разложения на множители. вынесение множителя за скобку; использование формул сокращённого умножения; способ группировки; предварительное преобразование.

Метод оценки а) использование известных неравенств неравенство Коши б) приведение к сумме неотрицательных выражений (х1 – а1)2 + (х2 – а2)2 + …+(хп – ап)2 = с

Метод решения относительно одной переменной. выделение целой части; использование дискриминанта (неотрицательность); решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

Выводы: к решению неопределенных уравнений в целых числах уравнение вида  ax + by = c применяется теория делимости; для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, алгоритм решения существует; при любых взаимно простых коэффициентах при неизвестных уравнение имеет имеет бесконечное множество решений;