Презентация на тему: Комбинаторика.Принципы сложения и умножения

Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений

Список литературы Е. С. Вентцель, Л.А. Овчаров, Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М: Высшая школа, 2000г. Е. С. Вентцель, Л.А. Овчаров, Задачи и упражнения по теории вероятностей. М: Высшая школа, 2000г. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006. Г.В. Горелова, И.А. Кацко, Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL.- Ростов-на-Дону.: Феникс, 2001. Ю. Е. Шишмарев, Дискретная математика. Конспект лекций, Ч.2. ВГУЭС, 2002г.

Исторические сведения Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и связывают с первыми попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год). Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли (доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний). В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений. Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшие развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

Основные принципы комбинаторики: Основные принципы комбинаторики: Принцип сложения. Принцип умножения. Принцип сложения Задача 1: В классе 7 девочек и 8 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать 1 человека для работы у доски? Решение: Для работы у доски мы можем выбрать девочку 7 способами или мальчика 8 способами. Общее число способов равно 7+8=15. Задача 2: В классе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек – «5» по истории, 4 человека имеют «5» и по математике и по истории. Сколько человек имеют пятерку по математике или по истории? Решение: Так как 4 человека входят и в семерку отличников по математике и в девятку отличников по истории, то сложив «математиков» и «историков», мы дважды учтем этих четверых, поэтому вычтя их один раз из суммы, получим результат 7+9-4=12. Итак, 12 человек имеют пятерку по математике или по истории.

Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. Принцип сложения 2: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.

Задача: На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее? Задача: На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее? Решение: Для каждого варианта подъема на гору существует 5 вариантов спуска с горы. Значит всего способов подняться на гору и спуститься с нее 5∙5=25. Принцип умножения: если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a и b» можно получить m∙n способами.

1) Из 10 коробок конфет, 8 плиток шоколада и 12 пачек печенья выбирают по одному предмету для новогоднего подарка. Сколькими способами это можно сделать? 1) Из 10 коробок конфет, 8 плиток шоколада и 12 пачек печенья выбирают по одному предмету для новогоднего подарка. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Коробку конфет можно выбрать 10 способами, шоколад – 8, печенье – 12 способами. Всего по принципу умножения получаем способов.

2) В группе 24 человека. Из них 15 человек изучают английский язык, 12 – немецкий язык, 7 – оба языка. сколько человек не изучают ни одного языка? 2) В группе 24 человека. Из них 15 человек изучают английский язык, 12 – немецкий язык, 7 – оба языка. сколько человек не изучают ни одного языка? Решение. По принципу сложения 2 получим количество людей, изучающих английский или немецкий 15+12-7=20. Из общего числа учеников класса вычтем полученное количество людей. 24-20=4. 4 человека не изучает ни одного языка.

1) Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 20 боксеров каждое, 1) Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 20 боксеров каждое, надо выделить по одному боксеру для участия в состязаниях. Сколькими способами это можно сделать? Решение. По принципу умножения

2) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную букву в слове «экзамен»? 2) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную букву в слове «экзамен»? Решение. В слове «экзамен» 3 гласные буквы и 4 согласные. По принципу умножения

3) В классе 20 человек, из них 9 человек изучают язык программирования Бейсик, и 8 человек изучают Паскаль. Сколько человек не изучают языки программирования, если известно, что других языков в этом классе не изучают и каждый человек знает не более одного языка программирования? 3) В классе 20 человек, из них 9 человек изучают язык программирования Бейсик, и 8 человек изучают Паскаль. Сколько человек не изучают языки программирования, если известно, что других языков в этом классе не изучают и каждый человек знает не более одного языка программирования? Решение. По принципу сложения получим, что 9+8=17 человек изучают языки программирования. 20-17=3 человека не изучают языки программирования.

4) От дома до школы существует 6 маршрутов. Сколькими способами можно дойти до школы и вернуться, если дорога «туда» и «обратно» идет по разных маршрутам? 4) От дома до школы существует 6 маршрутов. Сколькими способами можно дойти до школы и вернуться, если дорога «туда» и «обратно» идет по разных маршрутам? Решение. По принципу умножения

5) Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника истории нужно выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать? 5) Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника истории нужно выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать? Решение. По принципу умножения

6) В корзине лежат 15 яблок и 10 апельсинов. Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял яблоко или если он взял апельсин? 6) В корзине лежат 15 яблок и 10 апельсинов. Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял яблоко или если он взял апельсин? Решение. Если Яша взял яблоко, то по принципу умножения Полина может осуществить свой выбор способами. Если Яша взял апельсин, то - способами. В первом случае у Полины свобода выбора большая.

7) В книжном магазине есть 7 экземпляров романа Ф.М. Достоевского «Идиот», 4 экземпляра его же романа «Братья Карамазовы» и 5 экземпляров «Преступление и наказание». Кроме того есть 5 томов, содержащих романы «Идиот» и «Преступление и наказание», и 7 томов, содержащих «Преступление и наказание» и «Братья Карамазовы». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из романов? 7) В книжном магазине есть 7 экземпляров романа Ф.М. Достоевского «Идиот», 4 экземпляра его же романа «Братья Карамазовы» и 5 экземпляров «Преступление и наказание». Кроме того есть 5 томов, содержащих романы «Идиот» и «Преступление и наказание», и 7 томов, содержащих «Преступление и наказание» и «Братья Карамазовы». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из романов? Решение. Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо том, содержащий два романа и экземпляр третьего. По принципу умножения и сложения получим