Презентация на тему: Рекуррентные соотношения
Рекуррентные соотношения Автор: учитель информатики и ИКТ МОУ Ольгинской СОШ Хохрина Елена Александровна
Числовые ряды 1+3+5+7+9+11+ …+(2n-l)+ ... 2+6+ 18+54+ 162+ … 1+1/2+1/4+1/8+ …+1/2 n+ =2 1+1+2+3+5+8+13+21+37+… 1+1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е 1+1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+ ... + 1/2n+ ...
Последовательность чисел Фибоначчи 1+1+2+3+5+8+13+21+37+…Задание: Сформулируйте правило, по которому образуется ряд Фибоначчи. Числа Фибоначчи возникают в самых разных математических ситуациях: комбинаторных, числовых, геометрических. Учёные стремятся отыскивать числовые закономерности даже в живой природе и давно заметили, что числа Фибоначчи встречаются в спиральных формах, которые наблюдаются в мире растений. Например, в расположении листьев и ветвей вокруг ствола дерева. Число витков спирали, которые необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему равно одному из чисел Фибоначчи. Это явление в ботанике называется филлотаксис.
Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, около 1170, Пиза — около 1250, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci); о происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой,Fibonacci происходит от фразы Figlio Buono Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».
Число Непера 1+1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е Число Непера является составляющей закона существования случайных процессов физической и биологической природы. Например, закона нормального распределения скорости газовых молекул, закона охлаждения тел, в формулах радиоактивного распада, возраста Земли, роста клеток и др.
Джон Непер (англ. John Napier; 1550—1617) — шотландский барон (8-й лорд Мерчистона), математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.
Факториал Факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до того числа, которое стоит под знаком факториала. От factor - сомножитель. 0!= 1. С учётом этого ряд чисел, дающих в сумме число Непера можно записать в виде 1 + 1/1 + 1/(1 *2)+ 1/(1 *2*3)+ ... + 1/(1 *2*3*4* ... *(n-l)+ ... Задание: Предложите, каким образом каждый элемент этого ряда можно выразить через предыдущий.
Вывод: существуют ряды, в которых элементы можно вычислять через предыдущие. Во всех рядах на доске наблюдается условие, с помощью которого можно образовать элемент ряда. Такое условие называют инвариантом (неизменимая часть чего-либо).
Ряд четных чисел 2+4+6+8+ 1 0+ 12+ ... +2п+ ... =n(n+ 1) Введём обозначения: k - значение последнего члена ряда; n - количество вычисляемых членов ряда;i - номер члена ряда (от 1 до n); ai - обозначение члена ряда; ai-1 - обозначение предыдущего члена ряда.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + + k № 1 2 3 4 5 6 n a1 a2 a3 a4 a5 a6 an Задание: Подумайте, как из 2 получить 4? Чем является 2 по отношению к а2? Чем является а1 по отношению к ai?
Получаем формулу ai=ai-1+2 Возникает вопрос: «Как записать рекуррентное соотношение для вычисления на компьютере?»
a Вывод: Инвариантность рекуррентного соотношения позволяет записать его в виде циклической конструкции.
Hайти сумму элементов ряда S=0 - начальное значение суммы, S=S+A - её изменение на каждом шаге цикла. алг INV(вещ А,S/цел K,N,I) нач запрос (N) А:=2 S:=0 S:=S+A вывод («I», «А»:12, «S»S:12) вывод («1»,А:12,S:12) нц для i от 2 до n А:=А+2 S:=S+A вывод (I:3, А:12, S:12) кц кон 1. Можно ли по этому алгоритму выписать i- й член и сумму элементов ряда нечётных чисел? 2. Назовите инвариант. Запишите рекуррентное соотношение. 3. Что изменилось в алгоритме?
Домашнее задание Примеры числовых рядов, в которых надо уметь находить инвариант. Получить рекуррентное соотношение и изобразить блок-схему.
