Презентация на тему: Свойства волн

Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ * Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика 900igr.net

Тема 5 УПРУГИЕ ВОЛНЫ 5.1 Распространение волн в упругой среде Сегодня: * 5.2 Уравнение плоской и сферической волны 5.3 Фазовая скорость 5.4 Принцип суперпозиции. Групповая скорость 5.5 Стоячие волны 5.6 Волновое уравнение 5.7 Эффект Доплера

5.1 Распространение волн в упругой среде Колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником Генерация акустической волны громкоговорителем. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной *

При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества. *

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения). Процесс распространения  продольной упругой волны В поперечной волне колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны *

  Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими (звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны). Упругие поперечные волны возникают в среде, обладающей сопротивлением сдвигу, вследствие этого: в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн; в твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. *

Наложение продольной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на π/2. В результате каждая масса совершает круговые движения. *

Волна на поверхности жидкости - суперпозиция продольного и поперечного движения молекул *

Движение молекул в волне на поверхности жидкости У поверхностных волн взаимосвязь между соседними молекулами при передаче колебаний осуществляется не силами упругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. В случае малой амплитуды волны каждая молекула движется по окружности, радиус которой убывает с расстоянием от поверхности. Нижние молекулы находятся в покое *

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны : – скорость распространения волны : – период – частота В среде без дисперсии скорость распространения волны есть фазовая скорость, или скорость распространения поверхности постоянной фазы. Волновая функция *

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Число волновых поверхностей – бесконечно. Фронт волны – один. Волновые поверхности неподвижны, Фронт волны все время перемещается * Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходит возмущение в момент времени t: это та поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебаний еще не возникли. (В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны )

* В зависимости от формы волновой поверхности различают плоские волны: волновые поверхности – параллельные плоскости: сферические волны: волновые поверхности – концентрические сферы.

5.2 Уравнение плоской и сферической волны Уравнением волны – называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t. *

Уравнение плоской волны Найдем вид волновой функции, в случае плоской волны предполагая, что колебания носят гармонический характер: Чтобы пройти путь x необходимо время – это уравнение плоской волны. Пусть *

Введем волновое число или в векторной форме Так как , то Отсюда Тогда уравнение плоской волны запишется так: *

При поглощении средой энергии волны: -наблюдается затухание волны (уменьшение интенсивности волны по мере удаления от источника колебаний); β – коэффициент затухания; А – амплитуда. *

Уравнение сферической волны Амплитуда колебаний убывает по закону Уравнение сферической волны: или Пусть При поглощении средой энергии волны: β – коэффициент затухания. *

5.6 Волновое уравнение Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных: или Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, описывает некоторую волну, причем -фазовая скорость волны *

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны, например сферической: или плоской : Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение упрощается: Напоминаю, что = оператор Лапласа: *

5.3 Фазовая скорость – это скорость распространения фазы волны. – скорость распространения фазы есть скорость распространения волны. Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. *

5.4 Принцип суперпозиции. Групповая скорость Принцип суперпозиции (наложения волн): при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц. Исходя из этого принципа и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде волнового пакета или группы волн. *

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин». Фазовая скорость этой волны или *

Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн: Выражение для группы волн: *

Там где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции). необходимо условие

Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты. В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Скорость перемещения пакета u совпадает со скоростью υ: Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А), называется групповой скоростью u. В диспергирующей среде *

Если дисперсия невелика то скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ *

Рассмотрим пример суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и близкими длинами волн : Волновое число первой волны *

В результате суперпозиции двух волн получилась суммарная волна (волновой пакет): Эта волна отличается от гармонической тем, что её амплитуда – есть медленно изменяющаяся функция х и t : Максимум амплитуды : - координаты максимума *

– фазовая скорость За скорость распространения этого волнового пакета принимают скорость максимума амплитуды, т.е. центра пакета: – групповая скорость Связь между групповой и фазовой скоростью: может быть как меньше, так и больше В недиспергирующей среде: В диспергирующей среде: Групповая скорость может быть u > c Фазовая скорость υ < c поэтому *

5.5 Стоячие волны Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказывается геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Волны накладываются друг на друга не возмущая (не искажая друг друга) - принцип суперпозиции волн. Если две волны, приходящие в какую либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции. *

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград. или уравнение стоячей волны – частный случай интерференции *

- суммарная амплитуда Когда суммарная амплитуда равна максимальному значению - это пучности стоячей волны Координаты пучностей: а б Когда суммарная амплитуда колебаний равна нулю – это узлы стоячей волны. Координаты узлов: (n=0, 1, 2..)

- расстояние между соседними пучностями, как и соседними узлами, одинаково и составляет половину длины волны. * Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (а), если более плотная – узел (б). а б Определим расстояние между соседними узлами (пучностями): т.к. тогда: Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. *

Упругие волны * Рассмотрим продольную плоскую волну в твердой среде: Деформация среды в плоскости х: (взят символ частной производной, т.к. s = s(x,t)) Нормальное напряжение пропорционально деформации (для малых деформаций): где Е – модуль Юнга среды. В положениях максимального отклонения частиц от положения равновесия (∂s/∂x = 0) ε = 0, σ = 0 В местах прохождения частиц через положения равновесия ε, σ - максимальны (с чередованием ±ε, т.е. растяжений и сжатий)

 Процесс распространения  продольной упругой волны *

ρ – плотность среды. G – модуль сдвига. - плотность энергии упругой волны (как поперечной, так и продольной) в каждый момент времени в разных точках пространства различна. * Скорость продольной волны связана с характеристиками среды следующим образом: Скорость поперечной волны

Зависимость длины волны от относительной скорости движения *

5.7 Эффект Доплера Доплер Христиан (1803 – 1853), австрийский физик и астроном, член Венской АН (1848 г.). Учился в Зальцбурге и Вене. С 1847 г. профессор Горной академии в Хемнице, с 1850 г. профессор Политехнического института и уни-верситета в Вене. Основные труды посвящены аберрации света, теории микроскопа и оптического дальномера, теории цветов и др. В 1842 г. теоретически обосновал зависимость частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения наблюдателя относительно источника колебаний. *

*

Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемых приемником, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника. Источник, двигаясь к приемнику как бы сжимает пружину – волну *

*

*

*

*

*

*

*

Акустический эффект Доплера (несколько случаев проявления) 1. Источник движется относительно приемника Источник смещается в среде за время, равное периоду его колебаний T0, на расстояние где ν0 – частота колебаний источника, υ – фазовая скорость волны *

Частота волны, регистрируемая приемником, Если вектор скорости источника направлен под произвольным углом θ1 к радиус-вектору Длина волны, регистрируемая приемником, *

2. Приемник движется относительно источника Частота волны, регистрируемая приемником: Если приемник движется относительно источника под углом: *

3. В общем случае, когда и приемник и источник звуковых волн движутся относительно среды с произвольным скоростями *

где – скорость источника волны относительно приемника, а θ – угол между векторами и Величина , равная проекции на направление , называется лучевой скоростью источника. Если *

Оптический эффект Доплера Соотношение, описывающее эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме, с учетом преобразований Лоренца, имеет вид: Если источник движется относительно приемника вдоль соединяющей их прямой, то наблюдается продольный эффект Доплера: (1) *

В случае сближения источника и приемника (θ = π) В случае их взаимного удаления (θ = 0) (2) Продольный эффект Доплера *

, следовательно, он значительно слабее Поперечный эффект пропорционален отношению продольного, который пропорционален Впервые экспериментальная проверка существования эффекта Доплера и правильности релятивистской формулы (1) была осуществлена американскими физиками Г. Айвсом и Д. Стилуэллом в 30-ых гг. Поперечный эффект Доплера наблюдается при *

Эффект Доплера нашел широкое применение в науке и технике. Особенно большую роль это явление играет в астрофизике. На основании доплеровского смещения линий поглощения в спектрах звезд и туманностей можно определять лучевые скорости этих объектов по отношению к Земле: при по формуле (1) *

Американский астроном Э. Хаббл обнаружил в 1929 г. явление, получившее название космологического красного смещения и состоящее в том, что линии в спектрах излучения внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот (больших длин волн). *

65млн. св. лет 325млн. св. лет 4 млрд. св. лет Дева Персей СL 0939

Космологическое красное смещение есть не что иное, как эффект Доплера. Оно свидетельствует о том, что Метагалактика расширяется, так что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики. Под метагалактикой понимают совокупность всех звездных систем. В современные телескопы можно наблюдать часть Метагалактики, оптический радиус которой равен *

Хаббл установил закон, согласно которому, относительное красное смещение растет пропорционально расстоянию r до них. Закон Хаббла: галактик – постоянная Хаббла. которое свет проходит в вакууме за 3,27 лет 1 пк (парсек) – расстояние, *

*

На эффекте Доплера основаны радиолокационные, лазерные методы измерения скоростей различных объектов на Земле (например, автомобиля, самолета и др.). *

*